Clasa a XI-aAnaliză matematică

Șiruri și limite de șiruri

Monotonie, mărginire, limite, numărul $\displaystyle e$ și șirurile recurente. Baza pentru tot ce urmează în analiză.

Bac Matematică · Analiză matematică · clasa a XI-a

1Monotonie și mărginire

Șir monoton, șir mărginit

Un șir $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ e strict crescător dacă $\displaystyle a_{n+1} > a_n$ pentru orice $\displaystyle n$ , și strict descrescător dacă $\displaystyle a_{n+1} < a_n$ .

E mărginit dacă există două numere $\displaystyle m, M$ cu $\displaystyle m \le a_n \le M$ pentru orice $\displaystyle n$ .

Metoda

Cum arăți că un șir e monoton

1
Calculează diferența $\displaystyle a_{n+1} - a_n$ și adu-o la o formă din care se vede semnul.
2
Dacă toți termenii sunt pozitivi, poți compara și raportul $\displaystyle \dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ cu $\displaystyle 1$ — mai comod când apar puteri sau factoriale.

Exemplu rezolvat

Exemplu: $\displaystyle a_n = \dfrac{n}{n+1}$

1
$\displaystyle a_{n+1} - a_n = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$ .
2
Deci șirul e strict crescător.
3
Și e mărginit: $\displaystyle 0 < \dfrac{n}{n+1} < 1$ , fiindcă numărătorul e pozitiv și mai mic decât numitorul.

2Ce înseamnă limita
3Tehnicile de calcul
4Teoremele de convergență
5Numărul e și nedeterminarea 1 la infinit
6Șiruri date prin recurență
7Sume lungi: lema Stolz–Cesàro
8Pe scurt și antrenament

Restul lecției e în Pro

Încă 7 secțiuni, cu exemple rezolvate pas cu pas, capcanele în care se pierd puncte la Bac și exerciții cu răspunsul ascuns.

Fă-ți cont Intră în cont