Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2))$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(-x) = I_2$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)+A(2)+...+A(n))=\frac{n^2(n+1)}{4}$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră șirul de numere reale $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, $\displaystyle a_n = \frac{n^2+1}{n^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

b) Demonstrați că șirul $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ este mărginit.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (n\sqrt{a_n^2+2} - n)$.

Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 x^n(1-x)^n dx$.

a) Arătați că $\displaystyle I_1=\frac{1}{12}$.

b) Arătați că $\displaystyle I_{n+1}=\frac{n+1}{2(2n+1)} I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că $\displaystyle I_n=\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln \frac{x+1}{x}$ și șirul de numere reale $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, $\displaystyle a_n = f(1) + f(2) + \dots + f(n)$.

a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Arătați că șirul $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ este crescător.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (2n+1)(a_n - \ln n)$.

Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 (1-x^2)^n dx$.

a) Arătați că $\displaystyle I_1=\frac{2}{3}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1} \le I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (2n+3)I_{n+1}=2(n+1)I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2+x \\ 0 & 1 & 2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Demonstraţi că $\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a\ne -1$, ştiind că $\displaystyle A\left(\frac{1}{1\cdot 2}\right) \cdot A\left(\frac{1}{2\cdot 3}\right) \cdot \dots \cdot A\left(\frac{1}{2016\cdot 2017}\right) = A\left(\frac{a}{a+1}\right)$.

Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_{0}^{1} \frac{x^n}{x^2+2x+2} dx$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (x^2+2x+2) dx$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1}+2I_n+2I_{n-1} = \frac{1}{n+1}$, pentru orice număr natural $\displaystyle n, n \ge 2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n I_n = \frac{1}{5}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+3x+1}{x(x+1)^3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^3}-\frac{1}{(x+1)^3}$, pentru orice $\displaystyle x\in(0,\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(f(1)+f(2)+f(3)+\dots+f(n)\right)^{2n^3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^{-x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(\sqrt{x})}{e^{-x}} dx = \frac{e-1}{e}$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_n^{n+1} f(x) dx$. Demonstrați că șirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 1}$ este convergent.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-2,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x+2}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$.

b) Se consideră șirul $\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}$ cu $\displaystyle a_n = f(n)$. Demonstrați că șirul $\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}$ este mărginit.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n(\sqrt{f(n)}-1)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x\circ y = \sqrt{x^2+y^2+1}$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x\circ y = \sqrt{(x^2+1)(y^2+1)-1}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle (a,b)$ știind că $\displaystyle a\circ b = 1$.

c) Demonstrați că pentru orice număr natural $\displaystyle n\ge 2$, numărul $\displaystyle \underbrace{1\circ 1\circ \dots \circ 1}_{n \text{ ori}}$ nu este natural.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-5,5) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{25-x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 x f^2(x)dx = \frac{74}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-3}^3 x f(x)dx$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{1}{f^n(x)}dx$. Demonstrați că șirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 1}$ este monoton.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\cos x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx = 1$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \int_0^x f(t) \, dt$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (f(x))^n \, dx$. Demonstrați că șirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 1}$ este convergent.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n \left( \frac{3}{2} + f'(1) + f'(2) + \dots + f'(n) \right)$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este injectivă.