Clasa a XI-aAlgebră

Sisteme de ecuații liniare

Regula lui Cramer, rangul, teorema Kronecker–Capelli, discuția după parametru și sistemele omogene. Punctul c) de la Subiectul II.1.

Exersează pe exerciții reale

Bac Matematică · Algebră · clasa a XI-a

1Cele trei situații

Clasificare

Un sistem poate fi:

compatibil determinat — are exact o soluție;
compatibil nedeterminat — are o infinitate de soluții;
incompatibil — nu are nicio soluție.

Regula lui Cramer

Un sistem cu $\displaystyle n$ ecuații și $\displaystyle n$ necunoscute, cu $\displaystyle \det A \neq 0$ , e compatibil determinat, iar
$\displaystyle x_i = \frac{\Delta_{x_i}}{\det A},$
unde $\displaystyle \Delta_{x_i}$ e determinantul obținut înlocuind coloana $\displaystyle i$ cu coloana termenilor liberi.

Exemplu rezolvat

Exemplu: $\displaystyle \begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$

1
$\displaystyle \det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0 + 3 + 3 = 6 \neq 0$ : compatibil determinat.
2
$\displaystyle \Delta_x = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 6$ , $\displaystyle \ \Delta_y = 12$ , $\displaystyle \ \Delta_z = 18$ .
3
$\displaystyle x = 1$ , $\displaystyle y = 2$ , $\displaystyle z = 3$ .
Verificare în a treia ecuație: $\displaystyle 2 + 2 - 3 = 1$ . Corect.

Aici se pierd puncte

„Determinantul e zero” nu înseamnă „nu are soluții”. Înseamnă „nu are exact una”: poate avea o infinitate sau niciuna. Se decide cu rangurile.

2Rangul și teorema Kronecker–Capelli
3Discuția după parametru
4Sisteme omogene
5Pe scurt și antrenament

Restul lecției e în Pro

Încă 4 secțiuni, cu exemple rezolvate pas cu pas, capcanele în care se pierd puncte la Bac și exerciții cu răspunsul ascuns.

Fă-ți cont Intră în cont