Clasa a XII-aAlgebră

Rădăcinile polinoamelor și relațiile lui Viète

Relațiile lui Viète de grad 2, 3 și 4, expresii simetrice, rădăcini multiple, rădăcini raționale și ecuații bipătrate.

Bac Matematică · Algebră · clasa a XII-a

1Relațiile lui Viète

Suma și produsele rădăcinilor

Polinomul	Relațiile
$\displaystyle aX^2 + bX + c$	$\displaystyle x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ , $\displaystyle \quad x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$
$\displaystyle aX^3 + bX^2 + cX + d$	$\displaystyle x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a}$ , $\displaystyle \quad x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \dfrac{c}{a}$ , $\displaystyle \quad x_1x_2x_3 = -\dfrac{d}{a}$
$\displaystyle aX^4 + bX^3 + cX^2 + dX + e$	$\displaystyle s_1 = -\dfrac{b}{a}$ , $\displaystyle \quad s_2 = \dfrac{c}{a}$ , $\displaystyle \quad s_3 = -\dfrac{d}{a}$ , $\displaystyle \quad s_4 = \dfrac{e}{a}$

Semnele alternează: minus, plus, minus, plus. $\displaystyle s_k$ e suma tuturor produselor de câte $\displaystyle k$ rădăcini.

Expresii simetrice care se cer des (grad 3)

$\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = s_1^2 - 2s_2$
$\displaystyle \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{s_2}{s_3}$
dacă nicio rădăcină nu e zero

Exemplu rezolvat

Exemplu: pentru $\displaystyle f = X^3 - 2X^2 + 3X - 4$ , calculează $\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$

1
$\displaystyle s_1 = 2$ , $\displaystyle s_2 = 3$ , $\displaystyle s_3 = 4$ .
2
$\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = s_1^2 - 2s_2 = 4 - 6 = -2$ .
3
O sumă de pătrate negativă înseamnă că nu toate rădăcinile sunt reale.
Dacă ar fi toate reale, suma pătratelor ar fi $\displaystyle \ge 0$ . Argumentul ăsta apare des la Bac.

Restul lecției e în Pro

Încă 4 secțiuni, cu exemple rezolvate pas cu pas, capcanele în care se pierd puncte la Bac și exerciții cu răspunsul ascuns.