Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3+mX^2+mX+1$, unde $\displaystyle m$ este un număr real.

a) Calculați $\displaystyle f(-1)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ știind că $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=-1$, unde $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile complexe ale polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care toate rădăcinile polinomului $\displaystyle f$ sunt reale.

Se consideră $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ rădăcinile polinomului $\displaystyle f = {x}^{3}-2{x}^{2}+3x+m$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Calculaţi $\displaystyle f(1)$.

b) Arătaţi că $\displaystyle {x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}+{x}_{3}^{2}=-2$.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle m$ știind că $\displaystyle {x}_{1}^{3}+{x}_{2}^{3}+{x}_{3}^{3}=8$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = x^3 + x^2 + x + 1$ cu $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Calculați $\displaystyle f(0)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ știind că $\displaystyle x=1$ este rădăcină a polinomului $\displaystyle g=x^2+a x+a^2$.

c) Fie $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ rădăcinile reale ale polinomului $\displaystyle f$. Calculați $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 + X^2 + mX - 6$, unde $\displaystyle m \in \mathbb{R}$.

a) Calculați $\displaystyle f(0)$.

b) Arătați că $\displaystyle \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = -1$ , știind că $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ știind că rădăcinile polinomului $\displaystyle f$ sunt trei numere întregi consecutive.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^{3}-3X^{2}+aX-2$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f(2) = 2(a-3)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ știind că polinomul $\displaystyle f$ este divizibil prin $\displaystyle X^{2}-X+1$.

c) Pentru $\displaystyle a = 3$, rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle f\left(2^{x}\right) = 0$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P=X^3-4X^2+X+2$.

a) Arătați că $\displaystyle P(1)=0$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ prin $\displaystyle X-1$.

c) Arătați că $\displaystyle (x_1+x_2+x_3)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)=-2$ știind că $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 + X^2 - 3X + 2$.

a) Calculați $\displaystyle f(0)$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la $\displaystyle X^2-4$.

c) Arătați că $\displaystyle (x_1-x_2)^2 + (x_2-x_3)^2 + (x_3-x_1)^2 = 20$ știind că $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile lui $\displaystyle f$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3+mX-3$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m=2$, arătaţi că $\displaystyle f(1)=0$.

b) Determinaţi numărul real $\displaystyle m$, ştiind că polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu $\displaystyle X+1$.

c) Arătaţi că, pentru orice număr real strict pozitiv $\displaystyle m$, polinomul $\displaystyle f$ are două rădăcini de module egale.

În $\displaystyle \mathbb{Z}_5[X]$ se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3+\hat{a}X$, unde $\displaystyle \mathbb{Z}_5=\{\hat{0}, \hat{1}, \hat{2}, \hat{3}, \hat{4}\}$ şi $\displaystyle \hat{a} \in \mathbb{Z}_5$.

a) Calculaţi $\displaystyle f(\hat{0})$.

b) Determinaţi $\displaystyle \hat{a} \in \mathbb{Z}_5$, ştiind că $\displaystyle f(\hat{3})=\hat{3}$.

c) Arătaţi că, dacă $\displaystyle f(\hat{1})=f(\hat{2})$, atunci $\displaystyle f(\hat{3})=f(\hat{4})$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3-mX+2$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f(0)=2$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că restul împărțirii lui $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle g=X^2+X-2$ este egal cu $\displaystyle 0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=-6$, pentru orice număr real $\displaystyle m$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+1.$

a) Arătați că $\displaystyle f(1)=-2.$

b) Determinați polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X+1.$

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \frac{1}{x_1x_2}+\frac{1}{x_2x_3}+\frac{1}{x_3x_1}=a(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)$, unde $\displaystyle x_1,x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f.$

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3+2X^2+X+m$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f(0)=m$.

b) Pentru $\displaystyle m=1$, arătați că $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=5x_1x_2x_3$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul natural prim $\displaystyle m$, știind că polinomul $\displaystyle f$ are o rădăcină întreagă.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 - 5X^2 + 5X - 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f(1) = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle f(a) + f(-a) = 2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 15x_1x_2x_3$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P=X^3-4X^2+mX+2$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle P(0)=2$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1=x_2=x_3$, unde $\displaystyle x_1, x_2$ şi $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

c) Pentru $\displaystyle m=8$, arătați că polinomul $\displaystyle P$ nu are toate rădăcinile reale.

Se consideră polinomul $\displaystyle P(X) = X^3 - 2X^2 - 6X + 3$.

a) Arătați că $\displaystyle P(1) = -4$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P(X)$ la polinomul $\displaystyle X^2 + 3X - 3$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x_1 + x_2 + x_3 + \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = 0$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P(X)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P(X) = X^3 - 2X^2 + 2X + m$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle P(0) = m$.

b) Pentru $\displaystyle m = -1$, demonstrați că $\displaystyle (x_1 + x_2 + x_3)\left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}\right) = 4$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

c) Arătați că polinomul $\displaystyle P$ nu are toate rădăcinile reale.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3+5X^2+X+5$.

a) Arătați că $\displaystyle f(-5)=0$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X^2+6X+5$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{x_1}{x_2x_3}+\frac{x_2}{x_1x_3}+\frac{x_3}{x_1x_2}=\frac{23}{5}$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3-5X+a$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f(0)=a$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=2016-4a$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că polinomul $\displaystyle f$ are cel mult o rădăcină în mulțimea numerelor întregi.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 3xy + 3x + 3y + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = 3(x+1)(y+1)-1$.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x \circ x = x$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (a,b)$ de numere întregi, știind că $\displaystyle a \circ b = 8$.