Bac Matematică
Intră
← Toate lecțiile
Clasa a XII-aAnaliză matematică

Primitive

Derivarea, mersul înapoi. Definiția, când există o primitivă, tabelul complet și trucul „pe formă de derivată”.

Exersează pe exerciții reale

Bac Matematică · Analiză matematică · clasa a XII-a

Primitive

1Ce este o primitivă

Definiție

Fie I\displaystyle I un interval și f:I→R\displaystyle f : I \to \mathbb{R}. O funcție F:I→R\displaystyle F : I \to \mathbb{R} se numește primitivă a lui f\displaystyle f dacă:

1. F\displaystyle F este derivabilă pe I\displaystyle I;
2. F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x) = f(x), pentru orice x∈I\displaystyle x \in I.

Mulțimea tuturor primitivelor se notează ∫f(x) dx\displaystyle \displaystyle\int f(x)\,dx și se numește integrala nedefinită.

Cu alte cuvinte: derivata îți dă panta, primitiva îți dă înapoi funcția care avea panta aia. Dacă (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)' = 3x^2, atunci x3\displaystyle x^3 este o primitivă a lui 3x2\displaystyle 3x^2. Dar la fel este și x3+5\displaystyle x^3 + 5, sau x3−100\displaystyle x^3 - 100 — constanta dispare la derivare.

Două primitive diferă printr-o constantă

Dacă F\displaystyle F și G\displaystyle G sunt primitive ale aceleiași funcții f\displaystyle f pe un interval I\displaystyle I, atunci există c∈R\displaystyle c \in \mathbb{R} astfel încât G(x)=F(x)+c\displaystyle G(x) = F(x) + c, pentru orice x∈I\displaystyle x \in I.

De aceea scriem ∫f(x) dx=F(x)+C\displaystyle \displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + \mathcal{C}.

De ce e adevărat

(G−F)′=f−f=0\displaystyle (G - F)' = f - f = 0 pe tot intervalul. O funcție cu derivata zero pe un interval e constantă — asta e o consecință a teoremei lui Lagrange.

Aici se pierd puncte

Cuvântul interval din teoremă contează. Pe R∗=(−∞,0)∪(0,∞)\displaystyle \mathbb{R}^* = (-\infty, 0) \cup (0, \infty), funcția 1x\displaystyle \frac{1}{x} are primitive în care constanta e diferită pe cele două bucăți: F(x)=ln⁡∣x∣+1\displaystyle F(x) = \ln|x| + 1 pentru x<0\displaystyle x<0 și F(x)=ln⁡∣x∣+7\displaystyle F(x) = \ln|x| + 7 pentru x>0\displaystyle x>0 e tot o primitivă. Pe o reuniune de intervale, fiecare bucată are constanta ei.

Încearcă tu

Este F(x)=xln⁡x−x\displaystyle F(x) = x\ln x - x o primitivă a lui f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x) = \ln x pe (0,∞)\displaystyle (0, \infty)?

  1. 2Când există primitive
  2. 3Tabelul primitivelor
  3. 4Primitive „pe formă de derivată”
  4. 5Pe scurt și antrenament

Restul lecției e în Pro

Încă 4 secțiuni, cu exemple rezolvate pas cu pas, capcanele în care se pierd puncte la Bac și exerciții cu răspunsul ascuns.

Fă-ți contIntră în cont