Se consideră funcția $\displaystyle f:(-2, ∞) → ℕ$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x+2}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (x+2)f(x) dx$.

b) Calculați $\displaystyle f'(x)$ pentru orice $\displaystyle x ∈ (-2, ∞)$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[1,2] → ℕ$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{f(x)}$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3-\frac{1}{x}$.

a) Calculaţi $\displaystyle \int_1^2 (3-f(x))dx$.

b) Determinaţi primitiva $\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ a funcţiei $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=3$.

c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcţiei $\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=xf(x)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x - x^2 - x$ și $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=e^x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle F'(x)=f(x)$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \ln 2$.

b) Fie $\displaystyle F$ o primitivă a lui $\displaystyle f$. Arătați că $\displaystyle F'(x) = f(x)$.

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$ și arătați că $\displaystyle \ln \frac{24}{27} ≥ \ln 4$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+2x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (2x+1)dx = 2$.

b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)-2x-1$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este o funcție crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e f(x)dx=\frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e xf(x)dx=\frac{e^2}{4}$.

c) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty)\to R$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$.

b) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este funcție crescătoare pe intervalul $\displaystyle (-1,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x+\frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)-\frac{1}{x}) dx = e^2-1$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=x^2+\ln x+2$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$ are aria mai mică strict decât 4.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 3x^2 + 2x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} 3x^2 \operatorname{d}x = 7$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1) = 2014$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n, n \ge 2$ știind că $\displaystyle \int_{1}^{n} \frac{f(x)}{x} \operatorname{d}x = \frac{13}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (x+1)f(x) dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{e} f(x) \ln x dx$.

c) Arătați că $\displaystyle F(e-1)=\frac{e^2-4e+7}{2}$, unde $\displaystyle F:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=1$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e^{x}+2x$ și $\displaystyle F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=e^{x}+x^{2}+2014$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{2}(f(x)-2x) d x$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} F(x) f(x) d x$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\left(0, \infty\right) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}$.

a) Calculaţi $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) dx$.

b) Arătaţi că orice primitivă a funcţiei $\displaystyle f$ este funcţie crescătoare pe $\displaystyle \left(0, \infty\right)$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n=\int_{0}^{1} \frac{x^n}{x^2+4} dx$. Arătaţi că $\displaystyle nI_n=\sqrt{5}-4(n-1)I_{n-2}$ pentru orice număr natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \geq 3$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=xe^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{e^x}dx=e(e-1)$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=0$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n \ge 2$, se consideră numărul $\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n e^x dx$. Arătați că $\displaystyle I_n+(n+1)I_{n-1}=e$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: ↔ ↔$, $\displaystyle f(x) = 4x^3 + 3x^2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-3x^2) dx = 15$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=2015$.

c) Calculați $\displaystyle \int_1^n \frac{f(x)}{x^2} dx$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+2.$

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2)dx = \frac{1}{3}.$

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(3)=5.$

c) Arătați că suprafața delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=e^x \cdot f(x)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle 3e-4.$

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e f(x) dx = 1$.

b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_1^e \frac{(f(x))^n}{x} dx = \frac{1}{2015}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+2}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 x f(x) dx = \frac{7}{2}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = x+2\ln x + 2015$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = (f(x)-1)\ln x$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$ are aria egală cu $\displaystyle 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 - 4$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) + 4)dx = \frac{1}{3}$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{f(x)+5}$, pentru care $\displaystyle F(0) = 0$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a > 1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{1}{x} dx = 12$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 + \frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x) - \frac{1}{x}\right) dx = \frac{7}{3}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = x^2 + \ln x + 2015$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)-2x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x - 2x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) + 2x) dx = e-1$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1) = e-3$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este egal cu $\displaystyle \frac{\pi}{6}(3e^2-19)$.