Clasa a XII-aAnaliză matematică

Metode de integrare

Prin părți, prin schimbare de variabilă și pentru funcții raționale. Cu astea se face aproape orice integrală de la Bac.

Exersează pe exerciții reale

Bac Matematică · Analiză matematică · clasa a XII-a

Metode de integrare

1Integrarea prin părți

$\displaystyle \int f(x)\,g'(x)\,dx = f(x)\,g(x) - \int f'(x)\,g(x)\,dx$
pentru integrala nedefinită
$\displaystyle \int_a^b f(x)\,g'(x)\,dx = \Big. f(x)\,g(x)\Big|_a^b - \int_a^b f'(x)\,g(x)\,dx$
pentru integrala definită — termenul scos afară se evaluează imediat

Vine direct din derivata produsului: $\displaystyle (fg)' = f'g + fg'$ . Se folosește când sub integrală ai un produs de două feluri diferite de funcții, iar una dintre ele se simplifică prin derivare.

Metoda

Pe cine alegi drept $\displaystyle f$ (cea care se derivează)

1
Logaritmul — dacă apare $\displaystyle \ln x$ , el e aproape sigur $\displaystyle f$ : derivat devine $\displaystyle \frac{1}{x}$ , adică dispare.
2
Polinomul — la $\displaystyle x\,e^x$ , $\displaystyle x\sin x$ , $\displaystyle x^2\cos x$ : polinomul e $\displaystyle f$ , fiindcă prin derivare îi scade gradul.
3
Exponențiala și trigonometricele sunt de obicei $\displaystyle g'$ : se integrează fără să se complice.
4
Dacă după un pas integrala rămasă e mai grea decât cea inițială, ai ales invers — schimbă.

Exemplu rezolvat

Exemplu: $\displaystyle \displaystyle\int x\,e^x\,dx$

1
Polinom înmulțit cu exponențială: $\displaystyle f(x) = x$ , $\displaystyle g'(x) = e^x$ . Deci $\displaystyle f'(x) = 1$ , $\displaystyle g(x) = e^x$ .
2
$\displaystyle \displaystyle\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int 1 \cdot e^x\,dx = x\,e^x - e^x + \mathcal{C}$ .
3
Verificare: $\displaystyle (x e^x - e^x)' = e^x + x e^x - e^x = x e^x$ . Corect.
Derivarea rezultatului e cea mai ieftină verificare.

Exemplu rezolvat

Exemplu: $\displaystyle \displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,dx$

1
$\displaystyle f(x) = x$ , $\displaystyle g'(x) = \sin x$ , deci $\displaystyle f'(x) = 1$ , $\displaystyle g(x) = -\cos x$ .
2
$\displaystyle \displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,dx = \Big.-x\cos x\Big|_0^{\pi} + \int_0^{\pi}\cos x\,dx$ .
3
Primul termen: $\displaystyle -\pi\cos\pi - (-0\cdot\cos 0) = -\pi\cdot(-1) - 0 = \pi$ .
$\displaystyle \cos\pi = -1$ — semnul ăsta decide tot.
4
Al doilea: $\displaystyle \Big.\sin x\Big|_0^{\pi} = 0 - 0 = 0$ .
5
Rezultat: $\displaystyle \pi$ .
Pozitiv, cum trebuie: pe $\displaystyle [0, \pi]$ , $\displaystyle x\sin x \ge 0$ .

Exemplu rezolvat

Exemplu: $\displaystyle \displaystyle\int \ln x\,dx$ — când „ $\displaystyle g'$ ” e chiar $\displaystyle 1$

1
Scriem $\displaystyle \ln x = \ln x \cdot 1$ : $\displaystyle f(x) = \ln x$ , $\displaystyle g'(x) = 1$ , deci $\displaystyle f'(x) = \dfrac{1}{x}$ , $\displaystyle g(x) = x$ .
2
$\displaystyle \displaystyle\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + \mathcal{C}$ .

Integralele „ciclice”

La $\displaystyle \displaystyle\int e^x\sin x\,dx$ sau $\displaystyle \displaystyle\int e^x\cos x\,dx$ , două integrări prin părți te aduc înapoi la integrala de pornire. Nu e un cerc vicios: obții o ecuație în necunoscuta $\displaystyle I$ , pe care o rezolvi.

$\displaystyle \int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + \mathcal{C}$

De ce e adevărat

Notăm $\displaystyle I = \int e^x \sin x$ . Prin părți (cu $\displaystyle f = \sin x$ ): $\displaystyle I = e^x\sin x - \int e^x\cos x$ . Încă o dată pe ultima: $\displaystyle \int e^x\cos x = e^x\cos x + \int e^x\sin x = e^x\cos x + I$ . Deci $\displaystyle I = e^x\sin x - e^x\cos x - I$ , adică $\displaystyle 2I = e^x(\sin x - \cos x)$ .

2Schimbarea de variabilă
3Funcții raționale
4Pe scurt și antrenament

Restul lecției e în Pro

Încă 3 secțiuni, cu exemple rezolvate pas cu pas, capcanele în care se pierd puncte la Bac și exerciții cu răspunsul ascuns.

Fă-ți cont Intră în cont