Clasa a XII-aAnaliză matematică

Integrala definită

De la aria de sub grafic la formula Leibniz–Newton, cu toate proprietățile care se folosesc la Bac.

Bac Matematică · Analiză matematică · clasa a XII-a

Integrala definită

1De la dreptunghiuri la integrală

Ideea: ca să afli aria de sub un grafic, o aproximezi cu dreptunghiuri subțiri. Cu cât sunt mai subțiri, cu atât aproximarea e mai bună. Integrala definită e limita acestor sume.

Mișcă cursoarele

$\displaystyle f(x) = x^2$

$\displaystyle n$

$\displaystyle 4$ dreptunghiuri de lățime $\displaystyle \Delta x = 0{,}5$ , cu înălțimea luată în capătul din stânga.
Suma ariilor lor: $\displaystyle S_{4} = 1{,}75$ .
Integrala: $\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2} x^2\,dx = 2{,}6667$ . Diferența: $\displaystyle 0{,}9167$ .
Mărește $\displaystyle n$ : dreptunghiurile se subțiază, iar suma lor se apropie de integrală. Integrala definită este limita acestor sume.

Mărește numărul de dreptunghiuri și urmărește suma. Pentru $\displaystyle f(x) = x^2$ pe $\displaystyle [0, 2]$ , integrala este $\displaystyle \dfrac{8}{3} \approx 2{,}667$ , iar suma se apropie de ea tot mai mult.

Suma Riemann

Împărțim $\displaystyle [a,b]$ prin punctele $\displaystyle a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ și alegem câte un punct $\displaystyle \xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$ . Suma
$\displaystyle \sigma = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\,(x_i - x_{i-1})$
se numește sumă Riemann. Dacă, atunci când cea mai lungă bucată tinde la $\displaystyle 0$ , toate sumele tind la același număr $\displaystyle I$ , spunem că $\displaystyle f$ e integrabilă și $\displaystyle I = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ .

Ce funcții sunt integrabile

1. Orice funcție continuă pe $\displaystyle [a,b]$ e integrabilă.
2. Orice funcție monotonă pe $\displaystyle [a,b]$ e integrabilă.
3. Orice funcție integrabilă pe $\displaystyle [a,b]$ e mărginită (reciproca e falsă).

2Formula Leibniz–Newton
3Proprietăți
4Teorema de medie
5Pe scurt și antrenament

Restul lecției e în Pro

Încă 4 secțiuni, cu exemple rezolvate pas cu pas, capcanele în care se pierd puncte la Bac și exerciții cu răspunsul ascuns.

Fă-ți cont Intră în cont