Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră integrală $\displaystyle I_n = \int_0^1 x^n e^x dx$.

a) Calculați $\displaystyle I_1$.

b) Arătați că $\displaystyle I_{n+1}=e-(n+1)I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că $\displaystyle I_n = n!\left(e-\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\right)$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-2, ∞) → ℕ$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x+2}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (x+2)f(x) dx$.

b) Calculați $\displaystyle f'(x)$ pentru orice $\displaystyle x ∈ (-2, ∞)$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[1,2] → ℕ$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{f(x)}$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3-\frac{1}{x}$.

a) Calculaţi $\displaystyle \int_1^2 (3-f(x))dx$.

b) Determinaţi primitiva $\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ a funcţiei $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=3$.

c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcţiei $\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=xf(x)$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\u211D \to \u211D$, $\displaystyle f(x)={x}^{2}+x+1$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx = \frac{11}{6}$.

b) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n=\int_{0}^{1} \frac{{x}^{n}}{f(x)}dx$. Arătaţi că $\displaystyle I_{n+1} \leq I_n$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Determinaţi numărul real pozitiv $\displaystyle a$ știind că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2x+1}{f(x)}dx = \ln 3$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-3,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+8x+15}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+8x+15)f(x)dx=2014$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 f'(x)f(x)dx=-\frac{1}{144}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>0$ știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=a$, are aria egală cu $\displaystyle \frac{1}{2} \ln \frac{10}{9}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x - x^2 - x$ și $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=e^x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle F'(x)=f(x)$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.

Pentru fiecare funcție $\displaystyle f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$ se consideră integrală $\displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{x^2+1}dx$, $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$.

a) Calculați $\displaystyle I_1 = \frac{1}{3} \ln 2$.

b) Arătați că $\displaystyle I_{n+3} + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{x^{n+3}+x^{n+1}}{x^2+1}dx = \int_0^1 \frac{x^{n+1}(x^2+1)}{x^2+1}dx = \frac{1}{n+2}$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \ln 2$.

b) Fie $\displaystyle F$ o primitivă a lui $\displaystyle f$. Arătați că $\displaystyle F'(x) = f(x)$.

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$ și arătați că $\displaystyle \ln \frac{24}{27} ≥ \ln 4$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+2x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (2x+1)dx = 2$.

b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)-2x-1$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este o funcție crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x^{n}}\,dx$.

a) Arătați că $\displaystyle I_1 = 1-\ln 2$.

b) Arătați că $\displaystyle I_{n+1} \le I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} I_n = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e f(x)dx=\frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e xf(x)dx=\frac{e^2}{4}$.

c) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty)\to R$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$.

b) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este funcție crescătoare pe intervalul $\displaystyle (-1,+\infty)$.

Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n =$.

a) Arătați că $\displaystyle e^2+1$.

b) Arătați că $\displaystyle I_{n+1} - I_n =$ pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că $\displaystyle I_n = e^2$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x+\frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)-\frac{1}{x}) dx = e^2-1$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=x^2+\ln x+2$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$ are aria mai mică strict decât 4.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^2+x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+x+1)f(x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x+1)dx = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^3}\int_0^t f(x)dx = \frac{1}{4}$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x+1}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_1^e (x+1)f(x)dx=2\ln 2-1$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_1^e (f(x)+x f'(x))dx=1$.

c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcţiei $\displaystyle g:[2,3] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{\ln x}{f(x)}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 3x^2 + 2x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} 3x^2 \operatorname{d}x = 7$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1) = 2014$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n, n \ge 2$ știind că $\displaystyle \int_{1}^{n} \frac{f(x)}{x} \operatorname{d}x = \frac{13}{2}$.

Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx$.

a) Calculați $\displaystyle I_1$.

b) Arătați că $\displaystyle I_n + I_{n+1} = \frac{1}{n+1}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Arătați că $\displaystyle \frac{1}{2(n+1)} \le I_n \le \frac{1}{n+1}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (x+1)f(x) dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{e} f(x) \ln x dx$.

c) Arătați că $\displaystyle F(e-1)=\frac{e^2-4e+7}{2}$, unde $\displaystyle F:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=1$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e^{x}+2x$ și $\displaystyle F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=e^{x}+x^{2}+2014$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{2}(f(x)-2x) d x$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} F(x) f(x) d x$.