Clasa a XII-aAnaliză matematică

Funcții definite prin integrală, paritate, simetrii

Derivata unei integrale cu capăt variabil, integralele funcțiilor pare și impare, și trucul cu $\displaystyle a + b - x$ .

Exersează pe exerciții reale

Bac Matematică · Analiză matematică · clasa a XII-a

1Integrala cu capăt variabil

Teorema fundamentală a calculului integral

Dacă $\displaystyle f$ e continuă pe un interval $\displaystyle I$ și $\displaystyle a \in I$ , funcția
$\displaystyle F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$
e derivabilă pe $\displaystyle I$ și $\displaystyle F'(x) = f(x)$ . Mai general, dacă $\displaystyle u$ e derivabilă:
$\displaystyle \left(\int_a^{u(x)} f(t)\,dt\right)' = f\big(u(x)\big)\cdot u'(x)$

De ce e adevărat

$\displaystyle F$ e o primitivă a lui $\displaystyle f$ — cea care se anulează în $\displaystyle a$ . Iar derivata cu capătul $\displaystyle u(x)$ e regula lanțului.

Exemplu rezolvat

Exemplu: monotonia lui $\displaystyle F(x) = \displaystyle\int_0^x e^{t^2}\,dt$

1
$\displaystyle F'(x) = e^{x^2}$ .
Integrala $\displaystyle \int e^{t^2}$ nu se poate calcula — dar derivata funcției se poate, direct.
2
$\displaystyle e^{x^2} > 0$ pentru orice $\displaystyle x$ , deci $\displaystyle F$ e strict crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$ .

Exemplu rezolvat

Exemplu: derivata lui $\displaystyle G(x) = \displaystyle\int_1^{x^2} \ln t\,dt$ , pentru $\displaystyle x > 0$

1
Capătul e $\displaystyle u(x) = x^2$ , cu $\displaystyle u'(x) = 2x$ .
2
$\displaystyle G'(x) = \ln(x^2)\cdot 2x = 2\ln x \cdot 2x = 4x\ln x$ .

Exemplu rezolvat

Exemplu: $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}\int_0^x \sin t\,dt$

1
Sus și jos tind la $\displaystyle 0$ : nedeterminare $\displaystyle \frac{0}{0}$ , deci l'Hôpital.
2
Derivata numărătorului e $\displaystyle \sin x$ (teorema fundamentală), a numitorului e $\displaystyle 2x$ .
3
$\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{2x} = \frac{1}{2}$ .
Verificare directă: $\displaystyle \int_0^x \sin t\,dt = 1 - \cos x$ , iar $\displaystyle \frac{1 - \cos x}{x^2} \to \frac{1}{2}$ . Același rezultat.

2Funcții pare, impare, periodice
3Trucul simetriei: x → a + b − x
4Pe scurt și antrenament

Restul lecției e în Pro

Încă 3 secțiuni, cu exemple rezolvate pas cu pas, capcanele în care se pierd puncte la Bac și exerciții cu răspunsul ascuns.

Fă-ți cont Intră în cont