Clasa a XII-aAlgebră

Grupuri

Definiția, exemplele care apar la Bac, regulile de calcul, subgrupuri, ordinul unui element și teorema lui Lagrange.

Exersează pe exerciții reale

Bac Matematică · Algebră · clasa a XII-a

Grupuri

1Definiție și exemple

Grup

O mulțime $\displaystyle G$ cu o lege $\displaystyle *$ este grup dacă:

1. legea e asociativă;
2. există element neutru $\displaystyle e$ ;
3. orice element are simetric.

Dacă în plus legea e comutativă, grupul e abelian (sau comutativ). Partea stabilă e implicită: legea trebuie să fie pe $\displaystyle G$ .

Grupuri care apar des

Grupul	Neutrul	Simetricul lui $\displaystyle x$	Abelian?
$\displaystyle (\mathbb{Z}, +)$ , $\displaystyle (\mathbb{R}, +)$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -x$	da
$\displaystyle (\mathbb{R}^*, \cdot)$ , $\displaystyle ((0,\infty), \cdot)$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \dfrac{1}{x}$	da
$\displaystyle (\mathbb{Z}_n, +)$	$\displaystyle \hat{0}$	$\displaystyle \widehat{n-x}$	da
$\displaystyle (\mathbb{Z}_p^*, \cdot)$ , $\displaystyle p$ prim	$\displaystyle \hat{1}$	inversul modulo $\displaystyle p$	da
matrice inversabile de ordin $\displaystyle n$ , cu $\displaystyle \cdot$	$\displaystyle I_n$	$\displaystyle A^{-1}$	nu
$\displaystyle (S_n, \circ)$ , permutările de grad $\displaystyle n$	$\displaystyle e$	$\displaystyle \sigma^{-1}$	nu, pentru $\displaystyle n \ge 3$
$\displaystyle U_n = \{z \in \mathbb{C} : z^n = 1\}$ , cu $\displaystyle \cdot$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \bar{z} = z^{n-1}$	da

Contraexemple: $\displaystyle (\mathbb{N}, +)$ nu e grup (lipsesc simetricele), $\displaystyle (\mathbb{Z}, \cdot)$ nu e grup ( $\displaystyle 2$ n-are invers întreg).

Exemplu rezolvat

Exemplu: arată că $\displaystyle (\mathbb{R}, *)$ , cu $\displaystyle x * y = x + y + 3$ , e grup abelian

1
Asociativitate: $\displaystyle (x*y)*z = x + y + z + 6 = x*(y*z)$ .
2
Neutrul: $\displaystyle x + e + 3 = x \Rightarrow e = -3$ .
3
Simetricul: $\displaystyle x + x' + 3 = -3 \Rightarrow x' = -x - 6$ , care e real pentru orice $\displaystyle x$ .
4
Comutativitate: $\displaystyle x + y + 3 = y + x + 3$ . Deci grup abelian.

2Reguli de calcul într-un grup
3Subgrupuri
4Ordinul unui element și teorema lui Lagrange
5Pe scurt și antrenament

Restul lecției e în Pro

Încă 4 secțiuni, cu exemple rezolvate pas cu pas, capcanele în care se pierd puncte la Bac și exerciții cu răspunsul ascuns.

Fă-ți cont Intră în cont