6. Calculaţi în $\displaystyle \mathbb{Z}_6$ suma elementelor mulţimii $\displaystyle H = \{x^2 | x \in \mathbb{Z}_6 \}$.

1. Se consideră $\displaystyle \mathbb{Z}_6 = \{\hat{0}, \hat{1}, \hat{2}, \hat{3}, \hat{4}, \hat{5}\}$, mulţimea claselor de resturi modulo 6. Calculaţi $\displaystyle \hat{0} + \hat{1} + \hat{2} + \hat{3} + \hat{4} + \hat{5}$ în $\displaystyle \mathbb{Z}_6$.

2. Calculaţi $\displaystyle \hat{5} \cdot \hat{5}$ în $\displaystyle \mathbb{Z}_6$.

3. Determinaţi simetricul elementului $\displaystyle \hat{2}$ în raport cu operaţia de adunare în $\displaystyle \mathbb{Z}_6$.

4. Rezolvaţi în $\displaystyle \mathbb{Z}_6$ ecuaţia $\displaystyle \hat{5} \cdot x + \hat{2} = \hat{0}$.

5. Determinaţi elementele simetrizabile în raport cu înmulţirea în $\displaystyle \mathbb{Z}_6$.

6. Calculaţi în $\displaystyle \mathbb{Z}_6$ suma elementelor mulţimii $\displaystyle H = \{x^2 | x \in \mathbb{Z}_6 \}$.

Arătați că legea de compoziție ,,$\displaystyle \circ$'' este asociativă.

Verificați dacă $\displaystyle e=-5$ este elementul neutru al legii de compoziție ,,$\displaystyle \circ$''.

4. Determinați simetricul elementului $\displaystyle \hat{1}$ în raport cu operația de adunare în $\displaystyle \mathbb{Z}_4$.

5. Determinați elementele simetrizabile în raport cu operația de înmulțire în $\displaystyle \mathbb{Z}_4$.

Determinați simetricul elementului $\displaystyle \hat{4}$ în raport cu operația de adunare în $\displaystyle \mathbb{Z}_{10}$.

Determinați elementele simetrizabile în raport cu înmulțirea în $\displaystyle \mathbb{Z}_{10}$.

3. Arătați că $\displaystyle e=\frac{3}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

4. Verificați dacă $\displaystyle \frac{5}{4}$ este simetricul lui $\displaystyle 2$ în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle *$”.

3. Verificați dacă $\displaystyle e=6$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$” .

Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este asociativă.