Clasa a XII-aAnaliză matematică

Aplicații ale integralei: arii, volume, limite

Punctul c) de la Subiectul III.2 e aproape mereu una dintre astea trei. Aici sunt toate.

Exersează pe exerciții reale

Bac Matematică · Analiză matematică · clasa a XII-a

1Aria unei suprafețe plane

$\displaystyle \mathcal{A}(\Gamma_f) = \int_a^b |f(x)|\,dx$
aria dintre graficul lui $\displaystyle f$ , axa $\displaystyle Ox$ și dreptele $\displaystyle x=a$ , $\displaystyle x=b$
$\displaystyle \mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$
aria dintre două grafice, între $\displaystyle x = a$ și $\displaystyle x = b$

Mișcă cursoarele

$\displaystyle f(x) = x^2 - 4x + 3$

$\displaystyle a$

$\displaystyle b$

$\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,dx = 0$
Aria hașurată: $\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{3} |f(x)|\,dx = 2{,}667$
Cele două diferă: pe o bucată graficul e sub $\displaystyle Ox$ (hașurat roșu), iar acolo integrala scade. Aria se calculează cu modul — se rupe integrala în punctele unde $\displaystyle f$ se anulează.

Mută capetele $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ . Când intervalul prinde și partea de sub axă (între $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 3$ ), integrala cu semn scade, dar aria nu. Pentru $\displaystyle [0,3]$ : integrala e $\displaystyle 0$ , aria e $\displaystyle \dfrac{8}{3}$ .

Metoda

Aria dintre două grafice

1
Găsește punctele de intersecție: rezolvă $\displaystyle f(x) = g(x)$ .
2
Pe fiecare interval dintre ele, stabilește care funcție e deasupra (dă o valoare de test).
3
Integrează „cea de sus minus cea de jos” pe fiecare interval și adună.

Exemplu rezolvat

Exemplu: aria dintre graficele lui $\displaystyle f(x) = x^2$ și $\displaystyle g(x) = x$

1
Intersecții: $\displaystyle x^2 = x \Rightarrow x = 0$ sau $\displaystyle x = 1$ .
2
Pe $\displaystyle [0,1]$ , de pildă în $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ : $\displaystyle g = \frac{1}{2} > f = \frac{1}{4}$ . Deci $\displaystyle g$ e deasupra.
O singură valoare de test ajunge: între două intersecții ordinea nu se schimbă.
3
$\displaystyle \mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ .

Exemplu rezolvat

Exemplu: aria dintre graficul lui $\displaystyle f(x) = x^2 - 4x + 3$ și axa $\displaystyle Ox$ , pe $\displaystyle [0, 3]$

1
$\displaystyle f$ se anulează în $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 3$ : pozitivă pe $\displaystyle [0,1]$ , negativă pe $\displaystyle [1,3]$ .
2
$\displaystyle \displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = \Big.\left(\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x\right)\Big|_0^1 = \frac{4}{3}$ .
3
$\displaystyle \displaystyle\int_1^3 f(x)\,dx = 0 - \frac{4}{3} = -\frac{4}{3}$ , deci pe $\displaystyle [1,3]$ aria e $\displaystyle \frac{4}{3}$ .
Aici integrala e negativă — aria e modulul ei.
4
$\displaystyle \mathcal{A} = \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}$ . Integrala cu semn pe $\displaystyle [0,3]$ ar fi dat $\displaystyle 0$ .

Aici se pierd puncte

O arie nu iese niciodată negativă sau zero (pentru o suprafață reală). Dacă îți iese așa, ai integrat peste o porțiune în care funcția e sub axă, fără modul. Rupe integrala în rădăcini.

2Volumul unui corp de rotație
3Limite de șiruri cu integrale
4Pe scurt și antrenament

Restul lecției e în Pro

Încă 3 secțiuni, cu exemple rezolvate pas cu pas, capcanele în care se pierd puncte la Bac și exerciții cu răspunsul ascuns.

Fă-ți cont Intră în cont