Clasa a IX-aAlgebră

Funcția de gradul al II-lea

Vârful, rădăcinile, relațiile lui Viète, semnul, inecuațiile, poziția unei drepte față de parabolă și problemele de maxim.

Exersează pe exerciții reale

Bac Matematică · Algebră · clasa a IX-a

1Parabola

Pentru $\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c$ , cu $\displaystyle a \neq 0$ și $\displaystyle \Delta = b^2 - 4ac$

$\displaystyle f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$
forma canonică — din ea se citesc vârful și extremul
$\displaystyle V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$
vârful; axa de simetrie e $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$
$\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
rădăcinile, când $\displaystyle \Delta \ge 0$

Mișcă cursoarele

$\displaystyle f(x) = x^{2} - 4x + 3$

$\displaystyle a$

$\displaystyle b$

-4

$\displaystyle c$

$\displaystyle \Delta = b^2 - 4ac = 4$
$\displaystyle \Delta > 0$ : două rădăcini, $\displaystyle x_1 = 1$ și $\displaystyle x_2 = 3$ .
Vârful $\displaystyle V\left(-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{\Delta}{4a}\right) = V(2, -1)$ . Ramurile în sus: $\displaystyle f$ are minim $\displaystyle -1$ în $\displaystyle x = 2$ .

Pentru pornire: $\displaystyle x^2 - 4x + 3$ , cu rădăcinile $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 3$ și vârful $\displaystyle (2, -1)$ . Coboară $\displaystyle c$ până când $\displaystyle \Delta$ devine negativ: parabola se ridică de pe axă și rădăcinile dispar. Trece $\displaystyle a$ pe negativ: ramurile se întorc în jos, iar minimul devine maxim.

Pentru $\displaystyle a > 0$ (pentru $\displaystyle a < 0$ , totul se întoarce)

	$\displaystyle \Delta > 0$	$\displaystyle \Delta = 0$	$\displaystyle \Delta < 0$
rădăcini reale	două, $\displaystyle x_1 \neq x_2$	una dublă	niciuna
semnul lui $\displaystyle f$	$\displaystyle -$ între rădăcini, $\displaystyle +$ în afară	$\displaystyle +$ , cu $\displaystyle 0$ în rădăcină	$\displaystyle +$ peste tot
monotonia	scade până la $\displaystyle -\frac{b}{2a}$ , apoi crește	la fel	la fel
imaginea	$\displaystyle \left[-\frac{\Delta}{4a}, \infty\right)$	$\displaystyle [0, \infty)$	$\displaystyle \left[-\frac{\Delta}{4a}, \infty\right)$

2Relațiile lui Viète
3Inecuații și condiții
4Dreapta și parabola, probleme de extrem
5Pe scurt și antrenament

Restul lecției e în Pro

Încă 4 secțiuni, cu exemple rezolvate pas cu pas, capcanele în care se pierd puncte la Bac și exerciții cu răspunsul ascuns.

Fă-ți cont Intră în cont