Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 + X + A$, unde $\displaystyle A$ este un număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle A$, știind că $\displaystyle f(1) = 3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle a$ este rădăcină a polinomului $\displaystyle g = X^2 - 2X + 1$.

c) Fie $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ rădăcinile polinomului $\displaystyle g=aX^3+aX^2+X+1$, $\displaystyle a e 0$. Determinați $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = -1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, ∞) → ℕ$, $\displaystyle f(x) = ln(x+1) - ln x$.

a) Calculați $\displaystyle f(e+1)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x → ∞} x f(x)$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x-x$.

a) Calculaţi $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=0$, situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle e^x \ge x+1$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,\infty) \to \u211D$, $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{1-\ln x}{{x}^{2}}$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Arătaţi că $\displaystyle f(x) \leq \frac{1}{e}$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x \ln x-x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=1$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\ln x$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) \ge 0$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-3,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+8x+15}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+8x+15)f(x)dx=2014$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 f'(x)f(x)dx=-\frac{1}{144}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>0$ știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=a$, are aria egală cu $\displaystyle \frac{1}{2} \ln \frac{10}{9}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x - \frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$ pentru $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to e} \frac{f(x)}{x-e}$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x - x^2 - x$ și $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=e^x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle F'(x)=f(x)$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x-2}$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 4$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.