Clasa a XI-aAnaliză matematică

Rolul derivatelor: monotonie, extreme, convexitate

Din semnul lui $\displaystyle f'$ citești unde crește funcția și unde are extreme; din semnul lui $\displaystyle f''$ , cum se curbează. Plus inegalitățile care se demonstrează cu monotonie.

Exersează pe exerciții reale

Bac Matematică · Analiză matematică · clasa a XI-a

1Prima derivată: monotonie și extreme

Semnul derivatei

Pe un interval: dacă $\displaystyle f' > 0$ , $\displaystyle f$ e strict crescătoare; dacă $\displaystyle f' < 0$ , e strict descrescătoare.

Un punct în care $\displaystyle f'$ își schimbă semnul e punct de extrem: din $\displaystyle +$ în $\displaystyle -$ e maxim, din $\displaystyle -$ în $\displaystyle +$ e minim.

Metoda

Tabelul de variație, pas cu pas

1
Domeniul lui $\displaystyle f$ .
2
Calculează $\displaystyle f'$ și adu-l la o formă din care se vede semnul (factor comun, descompunere).
3
Rezolvă $\displaystyle f'(x) = 0$ .
4
Fă tabelul de semn al lui $\displaystyle f'$ și trage săgețile: $\displaystyle +$ ↗, $\displaystyle -$ ↘.
5
Calculează valorile lui $\displaystyle f$ în punctele de extrem și limitele la capete.

Exemplu rezolvat

Exemplu: $\displaystyle f(x) = x^3 - 3x$

1
$\displaystyle f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ , cu rădăcinile $\displaystyle -1$ și $\displaystyle 1$ .
2
Semnul: $\displaystyle +$ pe $\displaystyle (-\infty, -1)$ , $\displaystyle -$ pe $\displaystyle (-1, 1)$ , $\displaystyle +$ pe $\displaystyle (1, \infty)$ .
3
Deci: crește, scade, crește. Maxim în $\displaystyle -1$ : $\displaystyle f(-1) = 2$ . Minim în $\displaystyle 1$ : $\displaystyle f(1) = -2$ .

Tabelul de variație pentru $\displaystyle f(x) = x^3 - 3x$

$\displaystyle x$	$\displaystyle -\infty$		$\displaystyle -1$		$\displaystyle 1$		$\displaystyle +\infty$
$\displaystyle f'(x)$		$\displaystyle +$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +$
$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle -\infty$	↗	$\displaystyle 2$ (max)	↘	$\displaystyle -2$ (min)	↗	$\displaystyle +\infty$

Mișcă cursoarele

$\displaystyle f(x) = x^3 - 3x$

$\displaystyle x_0$

-2

În $\displaystyle x_0 = -2$ : $\displaystyle f(x_0) = -2$ și $\displaystyle f'(x_0) = 9$ — asta e panta tangentei.
Tangenta: $\displaystyle y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$ , adică $\displaystyle y = 9x + 16$ .
Panta e pozitivă: aici funcția crește.

Plimbă tangenta de la stânga la dreapta și urmărește semnul pantei: $\displaystyle +$ până la $\displaystyle -1$ , apoi $\displaystyle -$ până la $\displaystyle 1$ , apoi iar $\displaystyle +$ . Exact tabelul de mai sus.

Aici se pierd puncte

$\displaystyle f'(c) = 0$ nu înseamnă automat extrem: la $\displaystyle x^3$ , $\displaystyle f'(0) = 0$ , dar derivata nu-și schimbă semnul. Și monotonia se spune pe intervale: $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ e descrescătoare pe $\displaystyle (-\infty, 0)$ și pe $\displaystyle (0, \infty)$ , dar nu pe $\displaystyle \mathbb{R}^*$ ( $\displaystyle -1 < 1$ , iar $\displaystyle f(-1) = -1 < 1 = f(1)$ ).

2Inegalități demonstrate cu monotonie
3A doua derivată: convexitate
4Câte soluții are f(x) = m
5Pe scurt și antrenament

Restul lecției e în Pro

Încă 4 secțiuni, cu exemple rezolvate pas cu pas, capcanele în care se pierd puncte la Bac și exerciții cu răspunsul ascuns.

Fă-ți cont Intră în cont