Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x-x$.

a) Calculaţi $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=0$, situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle e^x \ge x+1$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,\infty) \to \u211D$, $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{1-\ln x}{{x}^{2}}$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Arătaţi că $\displaystyle f(x) \leq \frac{1}{e}$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x \ln x-x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=1$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\ln x$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) \ge 0$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x - \frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$ pentru $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to e} \frac{f(x)}{x-e}$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x-2}$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 4$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+1}$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 1$.

c) Determinați punctele de extrem ale funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(2,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)=2$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (2,+\infty)$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=3$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-2,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{xe^{x}}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\left(x^{2}+2x+2\right)e^{x}}{(x+2)^{2}}$, $\displaystyle x \in (-2,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că ecuația $\displaystyle f(x) = 1$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle (1,2)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3}{x^2+3}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{12x}{(x^2+3)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (-1,1)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to R$, $\displaystyle f(x)=x^2-\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=1$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x-\frac{1}{x}$, $\displaystyle x\in (0,+\infty)$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$.

Funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-2}{x^2+4x+5}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-2)(x^2+4x+5) - (x-2)(2x+4)}{(x^2+4x+5)^2}$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x-1$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x^2-x}$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x+e^x$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) \ge 4x+1$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(- \infty, 2) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x-2}$.

a) Calculaţi $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$.

b) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{(1-x)e^x}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (- \infty, 2)$.

c) Arătaţi că $\displaystyle f(x) \le -\frac{1}{e}$ pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 2)$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x+1}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_1^e (x+1)f(x)dx=2\ln 2-1$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_1^e (f(x)+x f'(x))dx=1$.

c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcţiei $\displaystyle g:[2,3] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{\ln x}{f(x)}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x-1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x) = xe^x$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)+1}{x} = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (1, +\infty) \to \mathbb{R}; f(x) = \frac{x^2+2}{x-1}$.

a) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{f(x)}{x} \right)^{x+3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x} + \ln x$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 1$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{3}-3 x+7$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=0$.

b) Calculați $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x(2 x+1)(3 x+2)}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \geq 5$ pentru orice $\displaystyle x \in [-1, \infty)$.