Clasa a XI-aAnaliză matematică

Derivata: definiție, tangentă, reguli de calcul

Ce este derivata (panta tangentei), cum se calculează orice derivată de la Bac și ce se întâmplă în punctele în care graficul face colț.

Exersează pe exerciții reale

Bac Matematică · Analiză matematică · clasa a XI-a

1Ce este derivata

Derivata într-un punct

$\displaystyle f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$
Dacă limita există și e finită, $\displaystyle f$ e derivabilă în $\displaystyle x_0$ .

Fracția $\displaystyle \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ e panta dreptei care unește două puncte ale graficului — o secantă. Când $\displaystyle h \to 0$ , cele două puncte se apropie, iar secanta devine tangentă.

Mișcă cursoarele

$\displaystyle f(x) = x^2$

$\displaystyle x_0$

$\displaystyle h$

1,5

Panta secantei: $\displaystyle \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = 3{,}5$ .
Panta tangentei (derivata): $\displaystyle f'(x_0) = 2$ . Diferența: $\displaystyle 1{,}5$ .
Micșorează $\displaystyle h$ și urmărește cum secanta se lipește de tangentă. Asta e definiția derivatei: $\displaystyle f'(x_0) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ .

Micșorează $\displaystyle h$ și urmărește panta secantei: se apropie de $\displaystyle f'(x_0) = 2x_0$ . Asta e toată definiția derivatei, într-o imagine.

Exemplu rezolvat

Exemplu: derivata lui $\displaystyle f(x) = x^2$ din definiție

1
$\displaystyle \dfrac{(x_0 + h)^2 - x_0^2}{h} = \dfrac{2x_0h + h^2}{h} = 2x_0 + h$ .
2
Când $\displaystyle h \to 0$ : $\displaystyle f'(x_0) = 2x_0$ .

2Tangenta la grafic
3Derivate laterale și puncte speciale
4Tabelul derivatelor
5Exemple de calcul
6Derivata inversei și rădăcinile multiple
7Pe scurt și antrenament

Restul lecției e în Pro

Încă 6 secțiuni, cu exemple rezolvate pas cu pas, capcanele în care se pierd puncte la Bac și exerciții cu răspunsul ascuns.

Fă-ți cont Intră în cont