Clasa a XI-aAlgebră

Matrice: operații și puteri

Adunare, înmulțire, transpusă, și cum calculezi $\displaystyle A^n$ — prin inducție sau cu relația Cayley–Hamilton.

Bac Matematică · Algebră · clasa a XI-a

1Operații

Înmulțirea a două matrice

Dacă $\displaystyle A$ are $\displaystyle m$ linii și $\displaystyle n$ coloane, iar $\displaystyle B$ are $\displaystyle n$ linii și $\displaystyle p$ coloane, produsul $\displaystyle AB$ are $\displaystyle m$ linii și $\displaystyle p$ coloane, iar elementul de pe linia $\displaystyle i$ și coloana $\displaystyle j$ este
$\displaystyle (AB)_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj}$
adică linia $\displaystyle i$ din $\displaystyle A$ înmulțită termen cu termen cu coloana $\displaystyle j$ din $\displaystyle B$ . Produsul există doar dacă numărul de coloane ale lui $\displaystyle A$ e egal cu numărul de linii ale lui $\displaystyle B$ .

Exemplu rezolvat

Exemplu: $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ , $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

1
$\displaystyle AB = \begin{pmatrix} 1\cdot 0 + 2\cdot 1 & 1\cdot 1 + 2\cdot 0 \\ 3\cdot 0 + 4\cdot 1 & 3\cdot 1 + 4\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ .
2
$\displaystyle BA = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ — altă matrice.
$\displaystyle B$ la dreapta schimbă coloanele lui $\displaystyle A$ ; la stânga, schimbă liniile.

Proprietăți

Adevărat	Fals în general
$\displaystyle (AB)C = A(BC)$	$\displaystyle AB = BA$
$\displaystyle A(B + C) = AB + AC$	$\displaystyle (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
$\displaystyle AI_n = I_nA = A$	$\displaystyle AB = O \Rightarrow A = O$ sau $\displaystyle B = O$
$\displaystyle (AB)^t = B^tA^t$	$\displaystyle (AB)^t = A^tB^t$

Formulele de calcul prescurtat merg doar dacă matricele comută: $\displaystyle (A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ , care devine $\displaystyle A^2 + 2AB + B^2$ numai când $\displaystyle AB = BA$ .

Aici se pierd puncte

Produsul a două matrice nenule poate fi zero: $\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = O_2$ . Deci din $\displaystyle AB = O_2$ nu rezultă nimic despre $\displaystyle A$ sau $\displaystyle B$ luate separat.

2Puteri prin inducție
3Relația Cayley–Hamilton
4Pe scurt și antrenament

Restul lecției e în Pro

Încă 3 secțiuni, cu exemple rezolvate pas cu pas, capcanele în care se pierd puncte la Bac și exerciții cu răspunsul ascuns.

Fă-ți cont Intră în cont