Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \\ a+4 & a & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -15$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care rangul matricei $\displaystyle A(a)$ nu este egal cu 3.

c) Demonstrați că matricea $\displaystyle M=A(-1) \cdot A(-1) - A(-1)$ are toate elementele numere întregi, divizibile cu 25.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y = \sqrt[3]{x^3+y^3+2020}$.

a) Arătați că $\displaystyle x*(-x) = \sqrt[3]{2020}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x+1)*(-x) = \sqrt[3]{2021}$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, există un unic număr real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x*x=a$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^3-6x^2+9x+5$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3(x-1)(x-3)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (-\infty, 2]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+3x+5}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+3x+5)f^2(x) dx = \frac{11}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-4}^{-1} x f(x^2+3x+5) dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi/2} \cos x f(\sin x) dx = 6-2\sqrt{5}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & m^2 & 1 \\ m+1 & (m+1)^2 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă.

c) În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele necoliniare $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B(m,m^2)$ și $\displaystyle C(m+1,(m+1)^2)$, unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinați numerele reale $\displaystyle m$, știind că triunghiul $\displaystyle ABC$ are aria egală cu $\displaystyle 1$.

Pe mulțimea $\displaystyle G=(0,+\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = 2x^{\ln y}$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast 1 = x$, pentru orice $\displaystyle x \in G$.

b) Determinați $\displaystyle e \in G$, știind că $\displaystyle e$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Determinați $\displaystyle x \in G$ pentru care $\displaystyle x \ast \frac{1}{x} = 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\ln(e^x+x-1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-2}{e^x+x-1}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Demonstrați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=0$ este asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)-1)dx = \ln(1+\sqrt{2})$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^{1} xf(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} f(t)dt}{x} = 2$.