a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle m$, rangul matricei $\displaystyle M(m)$ este diferit de $\displaystyle 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, $\displaystyle m \ne 1$, știind că inversa matricei $\displaystyle M(m)$ este matricea $\displaystyle A$.

a) Arătați că $\displaystyle (1+i) \circ (2-i) = 6+i$.

b) Demonstrați că numărul $\displaystyle z \circ \overline{z}$ este număr real, pentru orice număr complex $\displaystyle z$.

c) Determinați numerele complexe $\displaystyle z$ pentru care $\displaystyle z \circ z = -2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2-x+1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f(1)+f(2)+...+f(n)+2ln n)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 e^x f(x) dx = \frac{4}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(-x) dx$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, știind că funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = e^{-x}(-x^2+ax+b)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a))=1$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Se consideră matricea $\displaystyle B(a)=A(a)-I_3$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)=O_3$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că suma elementelor matricei $\displaystyle X$ pentru care $\displaystyle A(2)\cdot X=A(1)+A(2)+\ldots+A(n)$ este egală cu $\displaystyle 21$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*2=13$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x*x)*x^2=61$.

c) Demonstrați că există o infinitate de numere iraționale $\displaystyle a$ pentru care numărul $\displaystyle a*1$ este natural.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3(x+1)}{\left(x^2+3\right)\sqrt{x^2+3}}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(f(x))^x$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^5+2\sqrt{x^{10}+3}\geq 3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^3\left(f(x)-\ln x\right)dx=\frac{26}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-x^2\right)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^2\frac{1}{x}f\left(\frac{1}{x}\right)dx=\frac{3-4\ln^2 2}{8}$.