Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 2a+1 & 1 & -2 \\ a-1 & -1 & 1 \\ 2a & -2 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} (2a+1)x+y-2z=a \\ (a-1)x-y+z=a+1 \\ 2ax-2y+z=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ nu este inversabilă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care există $\displaystyle y_0$ și $\displaystyle z_0$, numere reale, astfel încât $\displaystyle (2,y_0,z_0)$ să fie soluție a sistemului de ecuații.

Pe mulțimea $\displaystyle G=(0,+\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru $\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^{\log_2 y}}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2*64=4$.

b) Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

c) Determinați $\displaystyle x\in G$ care sunt egale cu simetricele lor în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle *$”.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(5)=6$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{f(n+1)-1}{f(n)-1}\right)^n$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f'(x)=0$ are trei soluții reale.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1-e^x}{1+e^x}$.

a) Determinați primitiva $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\left(1+e^x\right)f(x)$, pentru care $\displaystyle G(0)=0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)\cos x\,dx=0$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a & 2 \ 0 & 1 & a \ -1 & a & -1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle i^2=-1$ și $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Calculați $\displaystyle A(0) \cdot A(0) \cdot \ldots \cdot A(0)$ de $\displaystyle 2020$ ori $\displaystyle A(0)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = 3^{xy} - 3^x - 3^y + 12$.

a) Arătați că $\displaystyle x * 1 = 3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = 9$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle x * y = 3$, atunci $\displaystyle (x-1)(y-1)=0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-\ln(x^2+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{2x^3}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că axa $\displaystyle Ox$ este tangentă graficului funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$, ecuația $\displaystyle f(x)=n$ are două soluții reale distincte.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e xf(x)dx=\frac{e^2-e}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 x^3 f(x^2)dx=\frac{e(e-1)(e^2+e+1)}{2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^e f(x)dx+\int_1^e e^x \ln xdx=e^e$.