a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(0))=5$.

b) Determinaţi mulţimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuaţii este compatibil determinat.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle a$, ştiind că sistemul de ecuaţii are soluţie unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ şi $\displaystyle x_0+y_0+z_0=0$, în această ordine, termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

a) Arătaţi că $\displaystyle 1 \circ 3 = 3$.

b) Determinaţi numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x \circ x = \frac{26}{9}$.

c) Determinaţi numerele naturale $\displaystyle n$ ale căror simetrice în raport cu legea de compoziţie $\displaystyle „\circ”$ sunt numere naturale.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{4(x-1)(x+1)}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei verticale la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că, pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ge 2$, ecuaţia $\displaystyle f(x)=n$ are două soluţii reale distincte.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^2 f(x)e^{-x}dx = \frac{8}{3}$.

b) Calculaţi $\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x^2}f(\ln x)dx$.

c) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 f(x)F(x)dx=2(e-3)^2$, unde $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcţiei $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 7$.

b) Determinați $\displaystyle a \in \mathbb{R}$, pentru orice număr întreg $\displaystyle a$.

c) Determinați numărul întreg $\displaystyle m$ pentru care inversa matricei $\displaystyle A(m)$ (notată $\displaystyle A^{-1}(m)$) are toate elementele numere întregi.

a) Arătați că $\displaystyle 2 ° 2 = 2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x ° y = z ° x = y$, pentru orice $\displaystyle x, y, z ∈ M$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{1}{2} \u00B0 \frac{1}{3} \u00B0 \frac{1}{4} \u00B0 ... \u00B0 \frac{1}{10} = \frac{10 − 11}{54} = 54^{-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\frac{1}{x}(x-1) - \ln x}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle f$ este strict descrescătoare pe $\displaystyle (1,+\infty)$, deci $\displaystyle f$ este injectivă.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{1}{6}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} f(x) \ln x dx = e^2 - 7$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, $\displaystyle a>1$ pentru care $\displaystyle \int_{1}^{a} f(x) e^x dx = e^a - 3e$.