a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -3$.

b) Pentru $\displaystyle a=-1$ și $\displaystyle b=2$, rezolvați sistemul de ecuații.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care sistemul de ecuații este compatibil nedeterminat.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = \sqrt{(x^2-1)(y^2-1)+1}$, pentru orice $\displaystyle x, y \in G$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Știind că $\displaystyle (G, \ast)$ este grup, demonstrați că funcția $\displaystyle f:G \to M, f(x)=\sqrt{x+1}$ este un izomorfism de la grupul $\displaystyle (M, \cdot)$ la grupul $\displaystyle (G, \ast)$, unde $\displaystyle M=(0, +\infty)$ și „$\displaystyle \cdot$” reprezintă operația de înmulțire a numerelor reale.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -xe^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{f(n)}{f(n+1)} \right)^n$.

c) Determinați mulțimea valorilor reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții reale distincte.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x)dx = 2\ln 2$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - \frac{2}{x+1}) \ln x dx$.

c) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 2F(x)f(x)dx = \frac{1}{4} + \ln 4 + \ln^2 a$, unde $\displaystyle F(0)=0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=1$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr rațional $\displaystyle q$, matricea $\displaystyle A(q)$ este inversabilă.

c) Se consideră matricea $\displaystyle B(a)=A(a)-A(-a)$. Determinați numerele raționale $\displaystyle p$ pentru care $\displaystyle B(p)B(p)B(p)+5B(p)=O_3$.

a) Arătați că $\displaystyle x * \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

b) Verificați dacă $\displaystyle e=\frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Știind că $\displaystyle (G,*)$ este grup, demonstrați că funcția $\displaystyle f: G \to M$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}-1$ este un izomorfism de la grupul $\displaystyle (G,*)$ la grupul $\displaystyle (M,\cdot)$, unde $\displaystyle M=(0,\infty)$ și „$\displaystyle \cdot$” reprezintă operația de înmulțire a numerelor reale.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1+\ln x$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați $\displaystyle m \in (0,\infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle M(m,f(m))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=2x$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \ln x \ge -\frac{1}{e}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx = 1$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \int_0^x f(t) \, dt$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (f(x))^n \, dx$. Demonstrați că șirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 1}$ este convergent.