a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x)A(y) - A(2xy))$ = 0, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(1)A\left(\frac{1}{2}\right) + A(2)A\left(\frac{1}{4}\right) + \dots + A(10)A\left(\frac{1}{2020}\right) = nI_3$.

a) Arătați că $\displaystyle 2*3*\sqrt[5]{5} = 5$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle 2^x * 3^x * (243x^x)^5 = 100000$.

c) Se consideră numerele $\displaystyle M = 1 * \sqrt[5]{2} * \sqrt[5]{3} * \dots * \sqrt[5]{10}$ și $\displaystyle N=5^5 \cdot 11^5$. Demonstrați că $\displaystyle M-N=0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-1}{x(x+1)^2}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Demonstrați că ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$ .

c) Demonstrați că graficul funcției $\displaystyle f$ nu intersectează axa $\displaystyle Ox$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 xf^2(x)dx = \frac{4}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^1 |x f(x)|dx$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x t \cdot f(t)dt}{x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = a(a-1)(a-4)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Arătați că nu există niciun număr real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(1) = A(4) \cdot A(a) - A(1)$.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$, pentru care sistemul de ecuații are soluția unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ cu $\displaystyle x_0, y_0$ și $\displaystyle z_0$ numere întregi.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \ast 0 = 3$.

b) Se consideră $\displaystyle f:M \to (0, \infty)$, $\displaystyle f(x) = \frac{10-x}{10+x}$. Demonstrați că $\displaystyle f(x \ast y) = f(x) f(y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in M$.

c) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \ast x \ast x = 0$. (trei de $\displaystyle x$)

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x^2-2x-3)$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=2020$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$, știind că graficul funcției $\displaystyle f$ intersectează dreapta de ecuație $\displaystyle y=a$ în exact trei puncte.

a) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe intervalul $\displaystyle (1, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{e}^{e^2} (f(x)-\frac{1}{\ln x})dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a>e$, știind că $\displaystyle \int_{e}^{a} \ln x dx = 2a$.