a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=A(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle A(n)=A(1)A(2)A(3)...A(2020)$, atunci numărul natural $\displaystyle n$ este multiplu de 2021.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y=(x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})+\sqrt{3}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ \sqrt{3}=\sqrt{3}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Calculați $\displaystyle \sqrt{5} \circ \sqrt{6} \circ \sqrt{7} \circ ... \circ \sqrt{100}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{-x(x+2)}{e^x}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}(g(1)+g(2)+...+g(n)) = e-1$, unde $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{(x+2)^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)dx=2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=2-\ln 2$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n=\int_0^1 e^x(f(x))^n dx$. Demonstrați că $\displaystyle I_n+2nI_{n-1}=3^n e-1$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=8$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=2A(ab-a-b+2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ pentru care $\displaystyle A(p)A(q)=4I_3$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = \frac{3}{5}(x-\frac{5}{3})(y-\frac{5}{3}) + \frac{5}{3}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle \frac{5}{3} * \frac{5}{3} * \frac{5}{3} = \frac{5}{3}$.

c) Calculați $\displaystyle \frac{1}{3} * \frac{2}{3} * \frac{3}{3} * \dots * \frac{2020}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(2x^2-x+2)}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 x f^2(x)dx = \frac{74}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-3}^3 x f(x)dx$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{1}{f^n(x)}dx$. Demonstrați că șirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 1}$ este monoton.