a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(2xy-x-y+1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A(a) \cdot A\left(\frac{1}{2}\right) = A\left(\frac{1}{2}\right) \cdot A(a)$.

a) Arătați că $\displaystyle 6 \ast 2 = 5$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast (4x) = 16$.

c) Calculați $\displaystyle 1 \ast 2 \ast 3 \ast \dots \ast 2019$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4-x}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle [5,+\infty)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x-3 \le e^x-1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=5$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{f(x)}{x}dx=13+\ln a$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b) = A(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(3) \cdot X = A(5)$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)\left(y - \frac{3}{2}\right) + \frac{3}{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = 14$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \left(2^n * \frac{3}{2}\right) * \left(2^{n+1} * \frac{3}{2}\right) * \left(2^{n+2} * \frac{3}{2}\right) = 2^{20} + \frac{3}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2(x^2 - 3x + 1)}{(x-1)^3}$, $\displaystyle x \in (1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A(0,3)$ și este paralelă cu tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(f(2) + f(3) + \dots + f(n)\right)^{n}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \frac{x}{f(x)}dx = 1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.

c) Arătați că există un unic număr real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \int_0^x e^{t^2}dt = x$.