Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Calculați $\displaystyle \det B$.

b) Arătați că $\displaystyle AB=BA$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B+xA)=1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20$.

a) Calculați $\displaystyle 4*5$.

b) Arătați că $\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle 1*2*3*\dots*2014$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3}{x^2+3}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{12x}{(x^2+3)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (-1,1)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e f(x)dx=\frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e xf(x)dx=\frac{e^2}{4}$.

c) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B=\begin{pmatrix} b & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle b$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=-2$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle A+B=AB+C$.

c) Arătați că $\displaystyle \det (B+2C)=\det B+\det A$ pentru orice număr real $\displaystyle b$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P=X^3-4X^2+X+2$.

a) Arătați că $\displaystyle P(1)=0$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ prin $\displaystyle X-1$.

c) Arătați că $\displaystyle (x_1+x_2+x_3)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)=-2$ știind că $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to R$, $\displaystyle f(x)=x^2-\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=1$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x-\frac{1}{x}$, $\displaystyle x\in (0,+\infty)$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty)\to R$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$.

b) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este funcție crescătoare pe intervalul $\displaystyle (-1,+\infty)$.