În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2, 2)$, $\displaystyle B(5, 2)$ și $\displaystyle C(2, 5)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este isoscel.

Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$ știind că $\displaystyle AB = 5$ și $\displaystyle BC = 13$.

Calculați $\displaystyle 0 * 1 - 0 + 1 - 5 =$

Arătați că legea de compoziție, "*", $\displaystyle x*y = x(x-1)+y(x-1)$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Calculați $\displaystyle x*y = x(x-1)+y(x-1)$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$. Verificați dacă $\displaystyle x*1 = 4$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Verificați dacă $\displaystyle x*1 = 4$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ astfel încât $\displaystyle x*y = x(x-1)+y(x-1)$ și $\displaystyle x*y = (x-1)(x+1)=4$.

Determinați numerele întregi $\displaystyle m, n$ pentru care $\displaystyle m*n = m(m-1)+n(m-1)$ și $\displaystyle m*n = 5$.

Calculați determinantul.

Arătați că $\displaystyle A+I_2 = B$, unde $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Verificați dacă $\displaystyle A \times B = B \times A$.

Arătați că $\displaystyle A \times C = I_2$, unde $\displaystyle C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A + aI_2) = 0$, unde $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$.

Rezolvați în $\displaystyle M_2(\mathbb{R})$ ecuația $\displaystyle A \times X = B$, unde $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$.

1. Determinaţi numărul real $\displaystyle x$ pentru care numerele $\displaystyle 2$, $\displaystyle x+2$ și $\displaystyle 10$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

2. Determinați valoarea minimă a funcției $\displaystyle f:ℝ\to\u211D$, $\displaystyle f(x)=x^2-2x-10$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_2(x^2-2x)=3$.

4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie par.

5. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}=(a-2)\vec{i}+\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=3\vec{i}+(a+2)\vec{j}$ sunt opuși.

6. Calculaţi cosinusul unghiului $\displaystyle A$ al triunghiului $\displaystyle ABC$ în care $\displaystyle AB=4$, $\displaystyle AC=5$ și $\displaystyle BC=6$.