a) Calculați $\displaystyle 1*3$.

b) Arătați că $\displaystyle x*3=x$ pentru orice număr real $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y=2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-2)(x^2+4x+5) - (x-2)(2x+4)}{(x^2+4x+5)^2}$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

b) Arătați că $\displaystyle I_{n+1} - I_n =$ pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că $\displaystyle I_n = e^2$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=3-a$.

b) Pentru $\displaystyle a=8$, arătați că $\displaystyle A$ este inversabilă.

c) Pentru $\displaystyle a=8$, determinați matricea $\displaystyle A^{-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x-5)(y-5) + 5$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Verificați dacă $\displaystyle e=6$ este elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle „*”$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x * x = x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x-1$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x^2-x}$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)-\frac{1}{x}) dx = e^2-1$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=x^2+\ln x+2$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$ are aria mai mică strict decât 4.