a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x) \, dx = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 xf(x) \, dx = \ln \frac{9}{8}$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle p$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle \ln (p^2 + \frac{1}{3})$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=A(ab+a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, $\displaystyle a,b>0$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>0$, știind că $\displaystyle A(a)A(a)A(a)=A(7)$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle f(-2)=0$.

b) Pentru $\displaystyle m=1$, determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Se consideră $\displaystyle a=\frac{x_1}{x_2x_3}+\frac{x_2}{x_1x_3}+\frac{x_3}{x_1x_2}$. Demonstrați că $\displaystyle a \in [3,+\infty)$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x^2+5x+1)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are exact trei soluții reale.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=-\frac{1}{\ln x}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_e^{e^2} f(x) dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>e$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{1}{x \ln x}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=e$ și $\displaystyle x=a$ are aria egală cu $\displaystyle 2a$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(1)) = -5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(a)M(b) = M(a+b+4ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle M(a)M(a) = M(2)$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y = 5(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x \leq x$.

c) Calculați $\displaystyle 1*(-2)*3*(-4)*...*(-2018)*2019$.