b) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a > 2$, știind că $\displaystyle \int_1^a \frac{2}{x^3 f(x)} dx = 3 \ln 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -2.$

b) Demonstrați că $\displaystyle M(a) \cdot M(b) = M(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b.$

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle M(1) \cdot X \cdot M(-1) = A.$

a) Arătați că $\displaystyle f(0) = -3.$

b) Demonstrați că numărul $\displaystyle a = \frac{3}{x_1 x_2} + \frac{3}{x_2 x_3} + \frac{3}{x_3 x_1}$ este natural, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile lui $\displaystyle f.$

c) Demonstrați că polinomul $\displaystyle f$ nu are toate rădăcinile reale.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{5(1-x^2)}{(x^2+5)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}.$

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ situat pe graficul funcției $\displaystyle f.$

c) Determinați mulțimea valorilor funcției $\displaystyle f.$

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = \frac{1}{e}.$

b) Demonstrați că $\displaystyle F(x) = (x-2)e^x + 2019$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f.$

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 F^2(x)f(x)dx.$

a) Arătați că $\displaystyle \det M = 21$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a) - A(-a) = 2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = M$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \circ (-2) = 2$.

b) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n \circ \frac{1}{2} = 9$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ astfel încât $\displaystyle x \circ y = 8$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.