Pe mulțimea numerelor reale $\displaystyle x$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y = x+y+xy$. Arătați că $\displaystyle (-1)*3 = -1$.

Demonstrați că $\displaystyle x*y = (x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Verificați dacă $\displaystyle e=0$ este element neutru al legii de compoziție $\displaystyle *,*$.

Verificați dacă $\displaystyle -\frac{1}{2}$ este simetricul lui $\displaystyle 1$ în raport cu legea de compoziție $\displaystyle *,*$.

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice relația $\displaystyle n*3 \ge 6$.

Determinați mulțimea numerelor naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n^n) < 32$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1-2a & 2a \\ -3a & 1+3a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

Arătați că $\displaystyle A(0) = I_2$.

Arătați că $\displaystyle A(1) \cdot A(2) = A(5)$.

Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

Demonstrați că $\displaystyle A(-1) \cdot A(a) = A(-1)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n^n) < 32$.

Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}$, dacă $\displaystyle a_1=2$ și rația $\displaystyle r=2$.

Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-10x+9$ cu axa $\displaystyle Ox$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 5^{x+1}-3 \cdot 5^x=2$.

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle x$ din mulțimea $\displaystyle A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, acesta să fie soluție a ecuației $\displaystyle x^2-4x+4=0$.

Determinați lungimea vectorului $\displaystyle \vec{AB}+\vec{AC}$, știind că triunghiul $\displaystyle ABC$ este echilateral și $\displaystyle AB=2$.

Arătați că $\displaystyle \sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\sin^2(x+\pi)=1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.