Exerciții

determinanțimatricisisteme de ecuații liniare

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay+z=1 \\ x-ay-z=1 \\ x+y+az=2 \end{cases}$ , unde $\displaystyle a$ este număr real.

5p

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$ .

5p

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a)) = a(1-a)(1+a)$ , pentru orice număr real $\displaystyle a$ .

5p

c) Pentru $\displaystyle a=0$ , demonstrați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții de forma $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ numere întregi.

Subiectul al II-lea

legi de compoziție

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = (x-2019)(y-2019)+2019$ .

Subiectul al III-lea

derivateecuațiifuncții

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = \sqrt{x}-\ln x$ .

Subiectul al III-lea

derivateintegralelimite de funcții

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x^2+9}$ .

Subiectul I

mulțiminumere naturale

Arătați că suma elementelor mulțimii $\displaystyle A = \{n \in \mathbb{N} \mid n \le 4\}$ este egală cu $\displaystyle 15$ .

Subiectul I

ecuațiifuncții

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=x^2-2x+m$ , unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle m$ , știind că vârful parabolei asociate funcției $\displaystyle f$ are ordonata egală cu $\displaystyle 2$ .

Subiectul I

ecuațiiradicali

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x-3}=9-x$ .

Subiectul I

combinatorică

Determinați numărul submulțimilor cu cel puțin $\displaystyle 8$ elemente ale unei mulțimi cu exact $\displaystyle 10$ elemente.

Subiectul I

geometrie analitică

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(5,1)$ , $\displaystyle B(-1,3)$ și $\displaystyle C(8,10)$ . Determinați lungimea segmentului $\displaystyle CD$ , unde punctul $\displaystyle D$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$ .

Subiectul I

șiruritrigonometrie

Arătați că $\displaystyle \sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4} + \cos 2\pi + \cos 3\pi + \dots + \cos 2019\pi = 0$ .

Subiectul al II-lea

determinanțimatrici

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}$ , unde $\displaystyle a$ este număr real.

Subiectul al II-lea

legi de compoziție

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = xy-x-y+2$ .

Subiectul al III-lea

asimptotederivatefuncții

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = x-1+\frac{2}{x+1}-\frac{\ln x}{x+1}$ .

Subiectul al III-lea

integralelimite de funcții

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = \sqrt{x^2+4}$ .

Subiectul I

ecuațiinumere reale

Arătați că $\displaystyle 4\sqrt{5} - \sqrt{75} + \sqrt{108} - \sqrt{3}^3 + \sqrt{25} - \sqrt{80} = 5$ .

Subiectul I

funcțiinumere reale

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = x + a$ , unde $\displaystyle a$ este număr real, pentru care $\displaystyle f(1) = 8$ .

Subiectul I

ecuațiinumere complexe

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{2x-1} = x-1$ .

Subiectul I

combinatorică

Determinați câte numere naturale de două cifre pot fi formate cu cifrele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9.

Subiectul I

geometrie analitică

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y = x - 2$ . Determinați coordonatele punctului $\displaystyle C$ de intersecție a axei $\displaystyle Ox$ cu dreapta $\displaystyle d$ cu axa $\displaystyle Oy$ .

Subiectul I