a) Arătați că $\displaystyle 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „*”.

b) Determinați $\displaystyle x \in G$, pentru care $\displaystyle x * x = \frac{8}{5}$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to G$, $\displaystyle f(x) = \frac{2(x-1)}{x+1}$. Demonstrați că $\displaystyle f(xy) = f(x) * f(y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in (0, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2}{x+1} - \frac{2}{x+1}$, $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(1+ \cos x) \leq \cos x$, pentru orice $\displaystyle x \in (0, \pi)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} (f(x)e^x - 3) dx = 6$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe intervalul $\displaystyle [-3, +\infty)$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=n$ are aria egală cu $\displaystyle 4-6e^{-n}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(a)M(b)=M(a+b+ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle M(1)+M(2)+...+M(2019)=2019M(a)$.

a) Arătați că $\displaystyle f(1)=0$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle m$.

b) Pentru $\displaystyle m=3$, determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=-4$, unde $\displaystyle x_1, x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle [0,+\infty)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le 7$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 1]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f^2(x)-6x-7)dx=11$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{x+1}{f^2(x)}dx$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle a \in (0,+\infty)$, suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=a$ are aria mai mare sau egală cu $\displaystyle a\sqrt{7}$.