În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(4,4)$ și $\displaystyle B(6,0)$. Determinați, în triunghiul $\displaystyle AOB$, ecuația medianei din vârful $\displaystyle A$.

Calculați $\displaystyle \sin 30^\circ - \sin 90^\circ + \sin 150^\circ$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 2(xy + x + y) + 1$. Arătați că $\displaystyle (-1) \circ (-1) = -1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 2(xy + x + y) + 1$. Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 2(xy + x + y) + 1$. Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = 2(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 2(xy + x + y) + 1$. Demonstrați că $\displaystyle e = -\frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 2(xy + x + y) + 1$. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ (x+2) = -5$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 2(xy + x + y) + 1$. Determinați numerele naturale nenule $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n \circ (n-1) \leq 11$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$. Arătați că $\displaystyle \det A = -2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$. Calculați $\displaystyle \det(A+B)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$. Arătați că $\displaystyle A \cdot A = B$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle aA + bB = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$. Arătați că, dacă $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle X+A = B$, atunci matricea $\displaystyle X$ este inversabilă.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$. Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A+B-aI_2) \leq 0$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Determinați termenul $\displaystyle b_3$ al progresiei geometrice $\displaystyle (b_n)_{n \geq 1}$, știind că $\displaystyle b_1 = 1$ și rația $\displaystyle q = 5$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 - x + 1$ și $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = 4x - 5$. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficelor celor două funcții.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{2x+x} = 4$.

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $\displaystyle A = \{ \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, ..., \sqrt{49} \}$, acesta să fie număr natural.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,3)$, $\displaystyle B(-3,0)$ și $\displaystyle C(-3,6)$. Determinați ecuația medianei din $\displaystyle A$ a triunghiului $\displaystyle ABC$.

Arătați că $\displaystyle \sin (3x - x \cdot \cos x) + \cos x (\sin x + 3 \cos x) = 3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.