a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1,1)) = 2$.

b) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n-1,0) + A(n+1,0) = A(2018,0)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că există un număr real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x,1) \cdot A(x,1) = A(a,-2)$.

a) Arătați că $\displaystyle P(-1) + P(1) = -30$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P(X)$ la $\displaystyle X-2X+1$, știind că $\displaystyle P(X)$ se divide cu $\displaystyle X-2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care polinomul $\displaystyle P(X)$ are trei rădăcini reale pozitive, în progresie geometrică.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-2, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (-2, +\infty)$.

a) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1) = 0$.

b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$ este egal cu $\displaystyle \frac{97\pi}{10}$.

c) Determinați numărul $\displaystyle m \in (1, \infty)$, știind că $\displaystyle \int_1^m (f(x)-x^2)dx = \frac{1}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a))=0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=2A(ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Demonstrați că matricea $\displaystyle R=A(\log_2 3) \cdot A(\log_3 4) \cdot A(\log_4 5) \cdot \ldots \cdot A(\log_{15} 16)$ are toate elementele numere întregi.

a) Arătați că $\displaystyle P(-1)-2P(0)+P(1)=2$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, știind că polinomul $\displaystyle P$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X^2-1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)(x_1^2+x_2^2+x_3^2)=1$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle a \in (0,4e^{-2})$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are exact trei soluții reale.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{f(x)}{x}dx=\frac{e^2}{3}$.

b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=2x-x^2+f(x)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$ are aria egală cu $\displaystyle e^2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \int_{e^{-1}}^{1} x^n(f(x)-x^2\ln x)dx=0$.