Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=0$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A = 5A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A + \begin{pmatrix} x & y \\ -3 & -2 \end{pmatrix} = I_2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x+y+xy$.

a) Arătați că $\displaystyle (-1) \circ 1 = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x+1)(y+1)-1$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle (x+1) \circ (x-3) = 4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(2,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)=2$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (2,+\infty)$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=3$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+2x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (2x+1)dx = 2$.

b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)-2x-1$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este o funcție crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 \\ 2x^{2}-2x & 4x & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det\left(A(0)\right) = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x+y) = A(x) \cdot A(y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ știind că $\displaystyle A\left(x^{2}+2\right) = A(x) \cdot A(x) \cdot A(x)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^{3}-3X^{2}+aX-2$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f(2) = 2(a-3)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ știind că polinomul $\displaystyle f$ este divizibil prin $\displaystyle X^{2}-X+1$.

c) Pentru $\displaystyle a = 3$, rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle f\left(2^{x}\right) = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-2,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{xe^{x}}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\left(x^{2}+2x+2\right)e^{x}}{(x+2)^{2}}$, $\displaystyle x \in (-2,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că ecuația $\displaystyle f(x) = 1$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle (1,2)$.

Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x^{n}}\,dx$.

a) Arătați că $\displaystyle I_1 = 1-\ln 2$.

b) Arătați că $\displaystyle I_{n+1} \le I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} I_n = 0$.