Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este asociativă.

Rezolvați în $\displaystyle \mathbb{R}$ ecuația $\displaystyle x*x=21$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*\sqrt{3} = x*\sqrt{2018}$.

Dați exemplu de numere $\displaystyle a,b \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$ astfel încât $\displaystyle a*b=5$.

Calculați $\displaystyle \hat{1}+\hat{3}+\hat{5}+\hat{7}+\hat{9}$ în $\displaystyle \mathbb{Z}_{10}$.

Calculați $\displaystyle \hat{2} \cdot \hat{8}$ în $\displaystyle \mathbb{Z}_{10}$.

Rezolvați în $\displaystyle \mathbb{Z}_{10}$ ecuația $\displaystyle \hat{3}x+\hat{2}=\hat{7}$.

Determinați simetricul elementului $\displaystyle \hat{4}$ în raport cu operația de adunare în $\displaystyle \mathbb{Z}_{10}$.

Determinați elementele simetrizabile în raport cu înmulțirea în $\displaystyle \mathbb{Z}_{10}$.

Determinați mulțimea $\displaystyle M=\{x \in \mathbb{Z}_{10} | x^2+\hat{3}=\hat{0}\}$.

5p 1. Arătați că numărul $\displaystyle N=\log_5 7+\log_5 35 - \log_5 \frac{7}{25}$ este natural.

5p 2. Știind că $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+2$, calculați $\displaystyle S=(f \circ f)(1)+(f \circ f)(2)+\dots+(f \circ f)(10)$.

5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_2(x^2+1)+\log_2(7x^2+9)=3$.

5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $\displaystyle A=\left\{i^1, i^2, i^3, i^4\right\}$, unde $\displaystyle i^2=-1$, acesta să fie număr real.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(1,n)$, $\displaystyle N(n,3)$ și $\displaystyle P(2n,5)$, unde $\displaystyle n$ este număr natural. Știind că vectorii $\displaystyle \vec{MN}$ și $\displaystyle \vec{MP}$ sunt coliniari, determinați numărul natural $\displaystyle n$.

5p 6. Arătați că $\displaystyle \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.