a) Arătați că $\displaystyle D(-2)=16$.

b) Demonstrați că $\displaystyle D(x)=x(x+1)(6-x)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle D(\sqrt{a})=0$.

a) Arătați că $\displaystyle M(1)+M(3)=2M(2)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(m) \cdot M(n)=M(m+n-2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle M(x) \cdot M(x)=M(x^2-1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)=2$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{f(2x)}{f(x)}$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=1$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{f(x)}-3}{x-3}$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=1+x^3-x^4$. Demonstrați că ecuația $\displaystyle (f+g)(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle (0,2)$.

a) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x))=0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)+A(1-x)=2A\left(\frac{1}{2}\right)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x)\cdot A(1-x)=A\left(\frac{1}{2}\right)$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x\circ y=(x+\hat{3})(y+\hat{3})$, pentru orice $\displaystyle x, y\in Z_{20}$.

b) Determinați $\displaystyle a\in Z_{20}$, știind că $\displaystyle a\circ x=\hat{0}$ pentru orice $\displaystyle x\in Z_{20}$.

c) Dați exemplu de $\displaystyle a,b\in Z_{20}\setminus\{\hat{17}\}$ pentru care $\displaystyle a\circ b=\hat{0}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{7}{2}$.

b) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2e^{2x^2-\sqrt{x}}\le\frac{3}{8}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(\operatorname{tg}x)dx=\frac{1}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)}{x^2+1}dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{1}{n+2}\le\int_0^1 (x^n f(x))dx\le\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2(n+2)}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.