Determinați mulțimea numerelor complexe $\displaystyle z \in \mathbb{C}$, $\displaystyle z \neq 2i$, astfel încât $\displaystyle \frac{2z+i}{z-2i}$ este un număr real.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x-2x^2$. Determinați valoarea lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle f(f(x))=x$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{x^2+1} = 3^{x+3}$.

Calculați probabilitatea ca, alegând o submulțime din mulțimea cu elemente $\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}$, aceasta să conțină numai numere pare.

Se consideră mulțimea $\displaystyle \mathcal{M} = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{Z}, ABCD=8, AD=4 \text{ și } BCD=9 \right\}$. Calculați lungimea vectorului $\displaystyle \vec{v}=\vec{DC}+\vec{BM}$.

Se consideră $\displaystyle E(x) = \sin^3 x - \cos^3 x$, unde $\displaystyle x$ este un număr real. Arătați că numărul $\displaystyle E(\frac{\pi}{4})$ este egal cu $\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A = \begin{pmatrix} a^2+a & a^2-a \\ a^2-a & a^2+a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -x \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \sqrt{3x-2}-1, & x \leq 1 \\ \frac{2^2+\sin(x-1)+m}{x^2-1}, & x>1 \end{cases}$, unde $\displaystyle m \in \mathbb{R}$.

Se consideră o progresie aritmetică $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ de rație $\displaystyle 2$ și care are suma primilor $\displaystyle 10$ termeni egală cu $\displaystyle 150$. Determinați $\displaystyle a_1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-1$. Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$ și care are abscisa egală cu dublul ordonatei.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x + \frac{1}{x} = 2$.

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle n$ din mulțimea $\displaystyle H=\{0,1,2,3,4\}$, acesta să verifice egalitatea $\displaystyle 2^n + 5^n = 3^n + 4^n$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(-1,1)$, $\displaystyle N(2,1)$ și $\displaystyle P(2,4)$. Determinați lungimea înălțimii din $\displaystyle N$ a triunghiului $\displaystyle MNP$.

Se consideră triunghiul dreptunghic $\displaystyle ABC$ cu ipotenuza $\displaystyle BC=4$, punctele $\displaystyle D$ și $\displaystyle E$ mijloacele laturilor $\displaystyle AB$, respectiv $\displaystyle BC$. Știind că $\displaystyle DE=1$, calculați $\displaystyle m(\angle B)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = 2xy - 6x - 6y + 21$. Calculați $\displaystyle 1 * 3$.

Demonstrați că $\displaystyle x * y = 2(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.