a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^x} dx = \frac{11}{6}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ are exact două puncte de inflexiune.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{1}{t^2} \int_0^t f(x)dx = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(X(3, 1)) = 0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle X(a, b) \cdot X(c, d) = X(ac + 9bd, ad + bc)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a, b, c, d$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (m, n)$ pentru care $\displaystyle \det(X(m, n)) = 1$.

a) Pentru $\displaystyle m = 9$, arătați că $\displaystyle f(1) = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care polinomul $\displaystyle P$ este divizibil cu $\displaystyle X + \sqrt{2}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că suma a două rădăcini ale polinomului $\displaystyle P$ este egală cu $\displaystyle 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = xe^x$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \sqrt[n]{e^{n-1}} - \frac{n}{n+1}$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \geq 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_2^3 \frac{f(x)}{x} dx = \frac{4}{3}$.

b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0, 1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{x+2}{\sqrt{x^2 + 1}}e^x$ este egal cu $\displaystyle \pi$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\int_3^x \frac{f(t)}{t} dt}{x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det (A(2))=5$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(y)=3I_2$.

c) Determinați numărul întreg $\displaystyle p$ pentru care $\displaystyle \det(A(p) \cdot A(p)+I_2)=5$.

a) Arătați că $\displaystyle 2*2=2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle 1*2*3* \dots * 2018$.