b) Fie $\displaystyle F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o primitivă a lui $\displaystyle f(x) = x e^x$. Demonstrați că $\displaystyle F'(x) = x e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

c) Aflați aria A=\int_0^n x e^x dx= n e^n - e^n + 1.

a) Calculați determinantul matricei $\displaystyle A$.

b) Determinați matricea $\displaystyle A-6I_2$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați polinomul $\displaystyle f(x) = x^3 + MX-6$ unde $\displaystyle M$ este număr real.

a) Determinați $\displaystyle x_1, x_2, x_3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, pentru care $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2 = -2m$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ pentru care $\displaystyle f(x+1) = (x+p)(x+q)X + q$ cu $\displaystyle p=-1, q=-6$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1)$ pentru $\displaystyle x \to \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, pentru orice $\displaystyle x \in [0, \infty)$ este funcție crescătoare.

a) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)dx = 2$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)dx = \frac{n^2-4}{2} + ln 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(-1))=0$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(M(a))=0$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ știind că sistemul este soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ și $\displaystyle 2x_0+y_0=0$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x - \frac{1}{10})(y - \frac{1}{10}) + \frac{1}{10}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = \frac{101}{10}$.

c) Calculați $\displaystyle \log_2 1 * \log_2 2 * \log_2 3 * \dots * \log_2 2018$.