Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6$. 1. Arătați că $\displaystyle 1*2=2$.

2. Arătați că $\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Arătați că $\displaystyle e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

4. Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n*n \le n$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (2^x*2^x)*2^x=10$.

6. Determinați numerele raționale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$, știind că $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}=p+q\sqrt{3}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} -2 & 4 \ -1 & 2 \ \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a)=I_2+aA$, unde $\displaystyle a$ este număr real. 1. Arătați că $\displaystyle \det A=0$.

2. Arătați că $\displaystyle A \cdot A=O_2$, unde $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \ \end{pmatrix}$.

3. Demonstrați că $\displaystyle M(a) \cdot M(b)=M(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle t$, știind că $\displaystyle M(t) \cdot M(t^2)=M(90)$.

5. Arătați că inversa matricei $\displaystyle I_2-A$ este matricea $\displaystyle I_2-A$.

6. Rezolvați în $\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ ecuația $\displaystyle (I_2+A)X=A-I_2$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care ecuația $\displaystyle x\sqrt{3(x+1)}\cdot\sqrt{3(x+1)} - \sqrt{12} = 0$ are o singură soluție.

Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$, pentru care graficul funcțiilor $\displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2+2x+3$ și $\displaystyle g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = s(x+a)^2+s(x+a)$ se intersectează în cel puțin un punct de abscisă $\displaystyle x=1$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x+1} = 1-\sqrt{x}$.

Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte au elementele mulțimii numerelor $\displaystyle M = \{0,1,2,3,4\}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră dreptele $\displaystyle d_1$, de ecuație $\displaystyle y = ax+2$ și $\displaystyle d_2$, de ecuație $\displaystyle y = \frac{x}{4}+1$. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că dreptele $\displaystyle d_1$ și $\displaystyle d_2$ sunt paralele.

Calculați $\displaystyle \sin(\pi - x) ".\cos(\pi + x) - \sin(\pi + x) ".\cos(\pi - x)$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.