a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x-9)(y-9) + 9$ pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție ,

• ".

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n \in \mathbb{N}$, $\displaystyle n \ge 9$ sau $\displaystyle n \le 10$ pentru care $\displaystyle (n-8)(n-9) < 0$ și $\displaystyle (n-10)(n-8) < 0$.

Notă: Enunțul subpunctului c) pare a fi o reformulare sau o problemă separată de legea de compoziție, calculând inegalități cu variabile numerice. Vom rezolva conform baremului, care pare să interpreteze problema ca fiind legată de legea de compoziție.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{x^2+2x-3}{(x^2+3)^2}$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -1 \le f(x) + \frac{1}{2}f'(x) \le \frac{1}{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Notă: Subpunctul c) pare să aibă o eroare în enunț, menționând $\displaystyle y$ când se referă la funcția $\displaystyle f(x)$ și derivata sa $\displaystyle f'(x)$. Vom rezolva conform baremului, care ignoră $\displaystyle y$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{e^x}$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Fie $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ o primitivă a funcției $\displaystyle f$. Arătați că $\displaystyle F''(x) = -\frac{1}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 x f(x) dx$.

Notă: Subpunctul a) din subiectul dat are o eroare. Derivata funcției $\displaystyle f(x) = \frac{1}{e^x} = e^{-x}$ este $\displaystyle f'(x) = -e^{-x} = -\frac{1}{e^x}$. Deci enunțul este corect, am citit greșit inițial. Subpunctul b) cere să se arate că $\displaystyle F''(x) = -\frac{1}{e^x}$, unde $\displaystyle F$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$. Aceasta ar însemna $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{e^x}$. Dar $\displaystyle f(x) = \frac{1}{e^x}$. Deci $\displaystyle f'(x) = -f(x)$. Dacă $\displaystyle F$ este primitivă a lui $\displaystyle f$, atunci $\displaystyle F'=f$. Dacă $\displaystyle F'' = -f$, aceasta este corectă.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y-2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle A(1)A(2)A(3)...A(10) = A(m^2+m+17)$.

a) Arătați că $\displaystyle P(1) - P(-1)=12$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că polinomul $\displaystyle P$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X-2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că toate rădăcinile polinomului $\displaystyle P$ sunt numere întregi.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este perpendiculară pe axa $\displaystyle Oy$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2^{\sqrt{3}} < 3^{\sqrt{2}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 f(x)dx=9$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x}dx = \frac{1}{2} + 2\ln 2$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^4 f^n(x)dx$. Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1} \le 4I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.