a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = 5(x+3)(y+3) - 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle x \circ y$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x-3) \circ (x-3) \circ (x-3) = 197$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = (x-1)e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -e \le f(x) \le 0$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 2]$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx$.

b) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Calculați $\displaystyle \int_1^e f(x) \ln x dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(X(1))=-4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle X(-a)+X(a)=X(2018)+X(-2018)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați perechile de numere reale $\displaystyle (a,b)$ pentru care $\displaystyle X(a)X(b)=X(a)X(b)$.

a) Pentru $\displaystyle m=2$, arătați că $\displaystyle f(2)=0$.

b) Arătați că, dacă polinomul $\displaystyle f$ se divide cu $\displaystyle X+1$, atunci polinomul $\displaystyle f$ se divide cu $\displaystyle X^2-3X+2$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle \frac{x_1}{x_2x_3} + \frac{x_2}{x_1x_3} + \frac{x_3}{x_1x_2} = 6$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-1, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x) - \ln x) dx = 11$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)}{x} dx = \frac{3e^2+4e-4}{2}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a > 1$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=a$ are aria egală cu $\displaystyle a^3+a^2+a-2$.