a) Calculați determinantul lui $\displaystyle A(0)$.

b) Determinați matricea $\displaystyle A(x) \cdot B$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care matricea $\displaystyle A(x)$ este inversabilă.

a) Calculați $\displaystyle f(0)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ știind că $\displaystyle x=1$ este rădăcină a polinomului $\displaystyle g=x^2+a x+a^2$.

c) Fie $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ rădăcinile reale ale polinomului $\displaystyle f$. Calculați $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 4$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

a) Calculați $\displaystyle I_1 = \frac{1}{3} \ln 2$.

b) Arătați că $\displaystyle I_{n+3} + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{x^{n+3}+x^{n+1}}{x^2+1}dx = \int_0^1 \frac{x^{n+1}(x^2+1)}{x^2+1}dx = \frac{1}{n+2}$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$.

b) Calculați $\displaystyle A \cdot A$ pentru $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 2014 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați matricea inversă $\displaystyle A^{-1}$ pentru matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 2014 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Calculați $\displaystyle f(0)$.

b) Arătați că $\displaystyle \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = -1$ , știind că $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ știind că rădăcinile polinomului $\displaystyle f$ sunt trei numere întregi consecutive.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 1$.

c) Determinați punctele de extrem ale funcției $\displaystyle f$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \ln 2$.

b) Fie $\displaystyle F$ o primitivă a lui $\displaystyle f$. Arătați că $\displaystyle F'(x) = f(x)$.

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$ și arătați că $\displaystyle \ln \frac{24}{27} ≥ \ln 4$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.