5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle A(-5,2)$ şi dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=x+1$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A$ şi este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle d$.

6. Arătați că $\displaystyle \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) - \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right) = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Arătați că $\displaystyle 2 · 0,1(6) + \frac{1}{3} = 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x-2$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(a)=a$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 5^{x^2-6} = 5^{2x}$.

Prețul unui obiect este $\displaystyle 900$ de lei. Determinați prețul obiectului după ce acesta se ieftinește cu $\displaystyle 10\%$, urmată de o scumpire cu $\displaystyle 10\%$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,1)$, $\displaystyle B(1,2)$ și $\displaystyle C(-1,-2)$. Demonstrați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic isoscel.

Arătați că $\displaystyle \sin 30^\circ + \sin^2 45^\circ + \sin^2 60^\circ = \frac{3}{2}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = 2(x+y) + xy + 2$. Arătați că $\displaystyle 0*(-2) = -2$.

Demonstrați că $\displaystyle x*y = (x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Verificați dacă $\displaystyle e=-1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle (x+1)*(x+1)=2$.

Determinați numerele $\displaystyle x \in (0, +\infty)$ pentru care $\displaystyle \lg x + \lg (2x) = 2$.

Dați exemplu de numere raționale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, care nu sunt întregi, pentru care numărul $\displaystyle a*b$ este întreg.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = aA + I_2$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

Demonstrați că $\displaystyle \det(M(a)) = (a+1)(2a+1)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.