a) Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A \cdot A = xA + yI_3$.

c) Determinați inversa matricei $\displaystyle B = A + I_3$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \circ 9 = 16$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \circ 3 = 25$.

c) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x-2)}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^{x-2} - x + 1 \ge 0$, pentru orice $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi/2} f(x)dx = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi/2} x f(x)dx = 1$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,\frac{\pi}{4}] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(m) + A(-m) = 2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(2) \cdot X = A(5)$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = 3(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle x * \left(-\frac{2}{3}\right) = x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n * (n-1) < 17$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-6)(x+2)}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (2, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ nu are puncte de inflexiune.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (e^x+1)f(x)dx=1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 x f(x) dx$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \sqrt{e^x}f(x)$.